Liniowa niezalezność wektorów Cyklop: Zadanie: Czy podane układy wektorów są niezależne: [1,−1],[2,1], [0,3] No więc piszę że tak jeśli x[1,−1]+y[2,1]+z[0,3]=[0,0]

⎧	x+2y=0
⎩	−x+y+3z=0

No i chyba klops bo dwa równania a dwie niewiadome? Czy da się jakoś to szybko zrobić bez udowadniania dla każdego wektora po kolei że jest zależny/niezależny względem pozostałej dwójki?

Karol566: Nie jestem pewny na 100% ale możesz ułożyć je w macierz. Wtedy liczba liniowo niezależnych kolumn/wierszy to będzie rząd macierzy który możesz policzyć, a jeśli wszystkie będą liniowo niezależne to wyznacznik macierzy będzie różny od zera. Nie ma znaczenia czy ułożysz wektory w pionie czy poziomie

Cyklop: Myślałem że można tak robić tylko jak wychodzi macierz kwadratowa, dzięki to chyba rozwiązuje problem Żeby oddzielnego tematu nie zakładać, to mam jeszcze z tym problem. Wiadomo, że dokładnie jeden z podanych układów jest bazą R³. Czy można go wskazać bez rachunków? a) (1,0,−1), (2,1,3),(0,−2,3) b) (3, −2, 8), (2,1,4) c) (1,2,1),(1,2,1),(1,0−1) Obstawiam a bo b i c się wyróżniają, ale tak na prawdę nie mam pojęcia która odpowiedź jest ok. Mógłby wytłumaczyć ktoś które nie i dlaczego?

jc: x+2y=0 −x+y+3z=0 x+2y=0 3y+3z=0 x+2y=0 y+z=0 Układ ma niezerowe rozwiązanie, np. x=2, y=−1, z=1. Ogólnie. Jeśli liczba równań jest mniejsza od liczby niewiadomych, to jednorodny układ równań liniowych (czyli z zerami po prawej stronie) ma niezerowe rozwiązanie (nie same zera).

Karol566: Rzeczywiście, wyznacznik można liczyć tylko dla macierzy kwadratowej, ale policzenie rzędu chyba jest rozwiązaniem. Dobrze jakby ktoś jeszcze potwierdził, bo w takim razie by wychodziło, że w każdym przypadku gdy mamy liczbę wektorów większą niż rozmiar wektora całość nie będzie liniowo niezależna

Karol566: Co do drugiego zadania po pierwsze wektory bazy musza być liniowo niezależne, a po drugie ich kombinacje liniowe tworzyć całą przestrzeń R³. Będzie to chyba prawdziwe gdy uda nam się z tych wektorów (dodając do siebie i mnożąc przez skalary) uzyskać takie wektory (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) (baza kanoniczna)

Cyklop: @jc a w czwartym wierszu od góry co się stało z −x? @Karol566 w takim razie czekajmy

Karol566: −x wyznaczył z wyższego równania (przeniósł na prawo i wyszło mu 2y=−x)

Cyklop: No tak, ale jak ocenić które odpadają bez wykonywania rachunków, jesli sie da oczywiście, ale polecenie sugeruje że się da

Cyklop: ok, czaje

Karol566: Można wskazać wektor 1, bo da się utworzyć te wektory, o których mówiłem wcześniej. Tak na 50% dzięki temu, że 2 wektory mają zera na różnych miejscach

jc: Do drugiego równania dodałem pierwsze. Każde kolejne trzy wektory rozpinają taką samą przestrzeń. (1,0,−1), (2,1,3), (0,−2,3) (1,0,−1) (0,1,5), (0,−2,3) (1,0,−1) (0,1,5), (0,0,13) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) Wniosek, początkowe trzy wektory są bazą. −−−− u, w, v tworzą bazę ⇔ ku, v, w tworzą bazę, k≠0 u, w, v tworzą bazę ⇔ u−kw, v, w tworzą bazę

Cyklop: Czyli z racji że na przykład jak w podpunkcie c 1,2,1 1,2,1 1,0,−1 chcąc uzyskać macierz jednostkową można bardzo łatwo wyzerować sobie jeden wiersz, bo są dwa identyczne, co z kolei dowodzi że jak są spośród trzech wektorów dwa takie same to są one zależne, i z kolei z tego można od razu założyć że nie są bazami R³? Dobrze rozumuję?

Karol566: Jak są dwa takie same to nie są zależne, jeden pomnożony przez skalar =1 daje drugi. Więc baza nie może się składać z tych trzech wektorów nigdy, natomiast nie jestem pewny czy w każdym przypadku po wyrzuceniu jednego z nich nie będzie można utworzyć bazy z tylko dwóch liniowo niezależnych wektorów

Karol566: są zależne*

Cyklop: No według mojej aktualnej wiedzy to chyba nie ale ja się dopiero uczę. W każdym razie jeśli do podpunktu c napisałem adnotację o tym co napisałem wyżej to powinno być okej? Że są dwa wektory takie same i to automatycznie sprawia że są zależne a jak zależne to nie mogą tworzyć bazy r³?

jc: Wektory liniowo zależne nie mogą tworzyć żadnej bazy, bo zgodnie z definicją wektory bazy mają być liniowo niezależne.

Cyklop: ok, o to mi chodziło dzięki