W przestrzeni R^3 dany jest endomorfizm f o wzorze k@rolinka: W przestrzeni R³ dany jest endomorfizm f o wzorze f(x,y,z)=(−x−2z,2x−2y−4z,−2x+2z) Znajdź macierz endomorfizmu f w bazie kanonicznej. Wykaż, że endomorfizm f jest diagonalizowalny. Podaj macierz przejścia z bazy kanonicznej do bazy wektorów własnych oraz macierz odwzorowania w bazie wektorów własnych

jc: Macierz M= [−1 0 −2] [2 −2 −4] [−2 0 2] [0 1 0]^T jest wektorem należącym do wartości własnej −2. Rozpatrzmy teraz wektory postaci: [x 0 z]^T.

−1 −2 −2 2	2 1		2 1
		=−2

−1 −2 −2 2	−1 2		−1 2
		=3

Baza zbudowana z wektorów własnych [1 ] [0] [−1] [0 ] [1] [0] [−2] [0] [2] Wniosek, macierz można zdiagonalizować. Zbuduj z tych wektorów macierz P, będzie to macierz przejścia.

jc: Oj, chyba za bardzo uprościłem. Wektory własne [0] [2] [1] [1] [0] [2] [0] [1] [−2] Pierwsze dwa należą do wartości własnej −2, ostatni do wartości własnej 3. Sprawdź.

k@rolinka: jc dałbyś radę mi to wytłumaczyć jak dla kompletnie zielonej osoby?

jc: Moje rozwiązanie polegało na znalezieniu (odgadnięciu) wektorów własnych. Możesz postępować systematycznie. Zaczynasz od wielomianu charakterystycznego. Powinno wyjść f(k)=−(k+2)²(k−3). Usuwasz czynniki wielokrotne. g(k)=(k+1)(k−3). Sprawdzasz, czy g(M)=0. Faktyczne tak jest, co oznacza, że M można zdiagonalizować. Szukasz bazy złożonej z wektorów własnych rozwiązując równania jednorodne. Dla k=3 otrzymasz rozwiązanie jednowymiarowe, dla k=−2 dwuwymiarowe.