całki nieoznaczone i oznaczone Damian#UDM: Post o całkach nieoznaczonych i oznaczonych

	dx
∫
	xlog10x

Próbowałem przez części, lecz chyba nie tędy droga. Proszę o nakierowanie

Qulka: przez podstawienie że t=logx

Damian#UDM: http://matematykadlastudenta.pl/strona/711.html Pytanie do linku wyżej − co oznacza to T przy liczeniu granic z całki oznaczonej? Skąd mam to brać?

Qulka:

	ln10		ln10
∫		dx= ∫		dt = ln10•ln(logx)+C
	xln10•log10x		t

Qulka: T to po prostu jakaś robocza zmienna którą zastępujesz ∞ bo potem piszesz, że ta zmienna dąży do ∞

Damian#UDM: wracając do całki z 1:34 log₁₀x = t

dx
	= dt
xln10

dx = xln10dt

	dx		dt
∫		= ln10∫		= ln10ln|t| + C = ln10ln|log10x| + C
	xlog10x		t

Ogarniam Dziękuje Qulka za cenne wskazówki. Jak coś to będę tutaj zadania wrzucał

Damian#UDM: Oblicz całkę

	ln(x)dx
∫
	x2 + √x

Próbowałem przez części

	(4ln|x| − 2ln|x+1|)dx
(4ln|x| − 2ln|x+1|)ln(x) − ∫(		)
	x

Lecz coś mi się wydaję, że to nie jest najlepszy pomysł. Proszę o nakierowanie

Damian#UDM: Podstawienie za ln(x) = t też mi nie wyszło

Mariusz: Znowu potrzebne będą funkcje nieelementarne tak jak w całce z funkcją Γ Tutaj będziesz potrzebował takiej funkcji https://mathworld.wolfram.com/Dilogarithm.html

	1
oraz rozłożenia czynnika		w zespolonych
	t3+1

	ln(x)
∫		dx
	x2+√x

t=√x t²=x 2tdt=dx

	ln(t2)
∫2t		dt
	t4+t

	ln(t)
2∫		dt
	t3+1

	2
Teraz czynnik		rozkładasz w zespolonych
	t3+1

2		A		Bt+C
	=		+
(t+1)(t2−t+1)		t+1		t2−t+1

A(t²−t+1)+(Bt+C)(t+1)=2 A(t²−t+1)+Bt(t+1)+C(t+1)=2 A+B=0 −A+B+C=0 A+C=2 B=−A −2A+C=0 A+C=2 B=−A 2A−C=0 A+C=2 B=−A C=2A 3A=2

	2
A=
	3

	2
B=−
	3

	4
C=
	3

2		2	1		2	t−2
	=			−
t3+1		3	t+1		3	t2−t+1

Teraz trzeba ten drugi składnik rozłożyć ale nad zespolonymi tak jak się to robiło w przypadku równań rekurencyjnych

	2	t−2		2	t−2
−			=−
	3	(1−λ1t)(1−λ2t)		3	t2−t+1

(1−λ₁t)(1−λ₂t)=t²−t+1

A		B		2	t−2
	+		=−
1−λ1t		1−λ2t		3	t2−t+1

	2		4
A(1−λ2t)+B(1−λ1t)=−		t+
	3		3

	4
A+B=
	3

	2
−λ2A−λ1B=−
	3

	4
λ2A+λ2B=λ2
	3

	2
−λ2A−λ1B=−
	3

	4		2
(λ2−λ1)B=		λ2−
	3		3

	4
λ1A+λ1B=		λ1
	3

	2
−λ2A−λ1B=−
	3

	4		2
(λ1−λ2)A=(		λ1−		)
	3		3

	2	1−2λ1
A=−
	3	λ2−λ1

	2	λ2−1
B=
	3	λ2−λ1

(1−λ₁t)(1−λ₂t)=t²−t+1 1−(λ₂+λ₁)t+λ₁λ₂t²=t²−t+1 λ₁+λ₂=1 λ₁λ₂=1 λ²−λ+1=0

	1−√3i
λ1=
	2

	1+√3i
λ2=
	2

	2ln(t)		2		ln(t)		ln(t)		ln(t)
∫		dt=		∫		dt+A∫		dt+B∫		dt
	t3+1		3		1−(−t)		1−λ1t		1−λ2t

	ln(t)		ln(1+t)
∫		dt=ln(1+t)ln(t)−∫		dt
	1+t		t

	ln(1+t)
∫		dt
	t

1+t=u dt=du 1−u=−t

	ln(t)		ln(1+t)
∫		dt=ln(1+t)ln(t)+∫		dt
	1+t		−t

	ln(t)		ln(u)
∫		dt=ln(1+t)ln(t)+∫		du
	1+t		1−u

	ln(t)
∫		dt=ln(1+t)ln(t)+Li2(u)
	1+t

	ln(t)
∫		dt=ln(1+t)ln(t)+Li2(1+t)+C
	1+t

analogicznie dla pozostałych całek

Mariusz: Widać że nie ma kto pokierować twoją nauką i dlatego zakopujesz się w całki wymagające funkcyj nieelementarnych Myślisz że kerajs pokieruje twoją nauką − śmiem wątpić Ja zbyt mało wiem aby pokierować twoją nauką (nie kończyłem studiów matematycznych) ale nawet gdyby ktoś się znalazł kto pokierowałby twoją nauką na tym forum to kerajs będzie przeszkadzał

ICSP: XD

Mariusz: W tym rozwiązaniu które zaproponowałem we wpisie 20 sty 2021 15:16 zapomniałem dwójki (jedna dwójka pochodzi z podstawienia, druga dwójka z własności logarytmu)

Mariusz: ICSP z czego się śmiejesz w temacie o odwracaniu macierzy też jakoś nie wytłumaczyłeś metody odwracania macierzy zbyt dokładnie Zadałem ci pytanie co do twojego sposobu przedstawienia metody eliminacji Gaußa−Jordana odwracania macierzy i na nie jakoś nie odpowiedziałeś

ICSP: Z tego, że nawet w tym temacie musiałeś wspomnieć o tym jaki zły jest kerajs. Każda osoba która zaproponuję inną metodę rozwiązania (często krótszą i łatwiejszą zarówno do zrozumienia jak i przeliczenia) jest przez ciebie krytykowana. Z tego powodu (nie wiem czy zauważyłeś) od pewnego czasu przestałem odpowiadać na twoje pytania skierowane do mojej osoby (jeżeli nie dotyczą błędu czysto rachunkowego). W przeciwieństwie do innych osób korzystających z tego forum nie zamierzam się z tobą kłócił. Tyle w tym temacie z mojej strony.

Damian#UDM: O super, dziękuję Mariusz za wyjaśnienie Naukę to będę ogarniał niedługo, bo obecnie musiałem zająć się całkami funkcji trygonometrycznych i muszę powiedzieć, że wychodzą one bardzo zacnie Podstawienie uniwersalne lub podobne do uniwersalnego załatwiają większość spraw związanymi z tymi całkami. A tą całką zobaczyłem na jednej grupie na facebook'u, gdzie ktoś prosił o pomoc i niestety jej nie uzyskał, bo jak widać policzenie takiej całki to nie lada wyzwanie Ja sobie te wszystkie zadania zapisuje i jak mam chwilę wolnego na siebie to poświęcam ten czas na wrzucenie tutaj zadania i rozwijania się matematycznie dalej z wami kochani Myślę, że nie jedno jeszcze zadanie tutaj wrzucę i poproszę was o pomoc! A Mariusz odezwę się niedługo na mailu w sprawie całek z metodą Ostrogradskiego, ale na razie dla sprawdzenia sił będę tutaj wrzucał co udało mi się znaleźć na grupach

Mariusz: Chodzi o to że dobrze jest ćwiczyć analizę w określonej kolejności Na takie całki jak te co próbujesz liczyć przyjdzie jeszcze czas jeśli chcesz się uczyć jak je liczyć Najpierw powinieneś nabrać wprawy w liczeniu całek których funkcje pierwotne są funkcjami elementarnymi , później poznać kilka podstawowych całek nieelementarnych a dopiero ćwiczyć sprowadzanie takich całek jak ta do znanych funkcji nieelementarnych Niektóre całki nieelementarne poznasz dopiero podczas rozwiązywania równań różniczkowych Oto kilka przykładów na to że nawet przy ćwiczeniu liczenia całek warto zachować pewną kolejność Najpierw ćwiczysz liniowość całki bo później ona się przydaje np do całkowania funkcyj wymiernych Następnie po tym ćwiczysz sobie podstawienie ale przykłady muszą być odpowiednio dobrane , muszą być stosunkowo łatwe do policzenia najlepiej takie aby po podstawianiu otrzymywać całki tzw tablicowe Gdy już przećwiczysz podstawianie na niezbyt skomplikowanych przykładach przechodzisz do ćwiczenia całkowania przez części Tutaj też ćwiczysz całkowanie na niezbyt skomplikowanych przykładach i także najlepiej by było aby po scałkowaniu przez części otrzymana całka była do znalezienia w tablicach Tutaj dość przydatnym zastosowaniem całkowania przez części jest wyprowadzenie wzorów redukcyjnych na całki (nie mylić z wzorami redukcyjnymi w trygonometrii) Teraz przechodzisz do całkowania funkcji wymiernych Tutaj dzielisz licznik przez mianownik, rozkładasz na sumę ułamków prostych, stosujesz wzór redukcyjny w razie potrzeby alternatywą dla wzoru redukcyjnego jest metoda Ostrogradskiego Rozkład na sumę ułamków prostych rozbijasz na przypadki Gdy już przećwiczysz całkowanie funkcji wymiernych to możesz np przejść do podstawień sprowadzających liczenie całek do całek z funkcji wymiernych Dla całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) funkcja wymierna dwóch zmiennych masz podstawienia Eulera Dla całek postaci ∫x^m(a+bxⁿ)^pdx m,n,p∊ℚ masz podstawienia związane z całkowaniem różniczki dwumiennej (U Fichtenholza jest napisane że choć wiedziano już wcześniej jak tę całkę policzyć to Czebyszow pokazał że wyraża się ona za pomocą skończonej liczby funkcji elementarnych tylko w trzech przypadkach) Całki postaci ∫R(cosx,sinx)dx Tutaj znając podstawienia Eulera, jedynkę trygonometryczną i wzory skróconego mnożenia znajdziesz podstawienie sprowadzające te całki co całek z funkcji wymiernej Choć dla pewnych szczególnych przypadków można znaleźć też inne podstawienia wymagające mniej obliczeń Teraz gdy poznasz jak liczyć całki postaci ∫R(cosx,sinx)dx możesz przećwiczyć alternatywny do podstawień Eulera sposób liczenia całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx Dla całek postaci ∫R(e^x)dx podstawienie samo się narzuca a całki postaci ∫R(coshx,sinhx)dx sprowadzasz do całek postaci ∫R(e^x)dx

Damian#UDM: Dziękuje Mariusz za cenne rady. Na pewno przydadzą się przy liczeniu całek

Damian#UDM: Całka podwójna Obliczyć całkę podwójną ∫∫D(x² − xy)dxdy : D = {(x,y) ∊ R² : y≥x, y≤3x − x²} A swoją drogą fajnie byłoby nauczyć się tutaj szkicować wykresy, bo na razie to mi niestety nie wychodzi Narysowałem te dwie funkcje w układzie współrzędnych: z rysunku odczytałem, że punkty zaczepienia to (0,0) oraz (2,2) Górna funkcja to y = 3x − x², a dolna to y = x, chociaż wydaje mi się, że tutaj to nie ma znaczenia. ∫₀²∫₀²(x² − xy)dxdy = ∫₀²[x²y − ¹₂xy² + C]₀²dx = = ∫₀²[2x² − 2x]dx = [²₃x³ − x² + C]₀² = 1¹₃ Jest ok?

Damian#UDM: Jeśli ktoś chciałby sprawdzić obliczenia to serdecznie zapraszam!

Damian#UDM: Obliczyć całkę ∫arcsin(¹_x)dx Liczę przez części

	xdx	−1
∫arcsin(1x)dx = xarcsin(1x) − ∫			=
	√1−(1x)2	x2

	dx
= xarcsin(1x) + ∫		=
	√x2 − 1

= xarcsin(¹_x) + ln |x + √x² − 1| + C jest ok ?

Filip: no jak dla mnie niezbyt, bo: √x²−1!=x√1−(¹_x)² drugą całkę bym liczył przez podstawienie

	1
t=
	x

	dt
...=∫
	t√1−t2

I tutaj zrobił podstawienie √1−t²=ut+1 No ale poczekaj na głos bardziej doświadczonych

Damian#UDM: Obliczyć całkę oznaczoną ∫₂⁵√5x−3dx 5x − 3 = t 5dx = dt

	dt
dx =
	5

∫₂⁵√5x−3dx = ¹₅∫₂⁵√tdt = ¹₅[²₃t^3₂ + C]₂⁵ = = ¹₅[²₃(5x − 3)^3₂ + C]₂⁵ =

	44√22 − 14√7
=
	15

jest ok ?

ICSP: nie. Podstawienie zmienia granice całkowania

Mila: Dobrze. Nie trzeba pisać +C w całce oznaczonej.

	2
=		(√5x−3)32
	15

Wynik :

	2
=		*(22√22−7√7)
	15

Damian#UDM: ICSP to proszę napisz w jaki sposób tutaj zmienia granicę całkowania bo nie mam pojęcia Dziękuje Milu

Damian#UDM: Dziękuję każdemu za pomoc! Po to stworzyłem ten post, żebyście mogli mi pomagać i doradzać

ICSP: t = 5x − 3 x = 2 → t = ... x = 5 → t = ... Kiedy wracasz z podstawieniem na x granice również wracają na te sprzed podstawienia.

Damian#UDM: okej, teraz rozumiem jak to się zmienia Dziękuję! Czyli tutaj dla t powinno być ∫₇²² ok

kerajs: @Damian#UDM 1. 20 sty 01:34

	ln x
Tu zacząłbym od przekształcenia log x=		co uprościłoby rozwiązanie.
	ln 10

2. 20 sty 23:23 a) ''z rysunku odczytałem, że punkty'' Granice zasadniczo dostajesz z rozwiązania układu równań, a nie z rysunku. b) Z nieznanych dla mnie przyczyn wyrzuciłeś funkcje ograniczające obszar całkowania od dołu i góry. Powinno być: ∫₀² (∫_x^3x−x2(x² − xy)dy)dx 3. 22 sty 2021 18:51 Jest OK. @Filip 1. √x²−1!=x√1−¹_x² Symbol ≠ jest nad oknem pisania wiadomości. Nawet w informatyce operator != nie jest standardem ( przykładowe inne: <> , /= , '= , ~= ). 2. Istotnie, √x²−1 =|x|√1−¹_x² jednak w rozwiązaniu Damian wciąga x pod pierwiastek i robi to poprawnie.

	1
3. Po co robisz podstawienie t=		?
	x

@Mariusz 1. ''Myślisz że kerajs pokieruje twoją nauką − śmiem wątpić'' Nie zamierzałem i nie zamierzam kierować nauką jakiegokolwiek użytkownika forum. Ponadto, nie zamierzałem i nie zamierzam czegokolwiek uczyć na tym forum. 2. '' gdyby ktoś się znalazł kto pokierowałby twoją nauką na tym forum to kerajs będzie przeszkadzał'' Jeśli przeszkadzaniem nazywasz pokazywanie innych metod, to owszem, będę przeszkadzał.

Damian#UDM: Właśnie 20 sty 23:23 zrobiłem rozwiązanie na dwa sposoby: w jednym użyłem do liczenia całki oznaczonej dy y−ków z punktów (2,2) i (0,0), a w drugim podstawiłem te funkcje i nie wiedziałem, który sposób jest poprawny Bo przy podstawieniu za granic dy funkcji wychodził mi chyba wynik ujemny, a przy podstawieniu liczb za y wychodził wynik dodatni. Ale już wszystko jasne i rozumiem, więc dziękuję za rozjaśnienie I sprawdzenie reszty!

Damian#UDM: Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywymi y = 9 − x² y = 9 oraz styczną do wykresu funkcji y = 9 − x² w punkcie x₀ = 3 styczna : y = −6x + 18 Jak policzyć pole takiego obszaru? Mi jest osobiście łatwiej policzyć po wyznaczeniu funkcji f(y), bo od x to nie wiem jaką granicę dolną wziąć, bo jak wezmę do 0 to mi policzy cały obszar do x=0, a nie ograniczony do y = 9 Więc zrobiłem tak: Wyznaczone dla f(y) górna granica y = −6x + 18 → x = 3 − ¹₆y dolna granica y = 9 − x² → x = √9 − y , y ∊ (−∞, 9> Punkty graniczne: y = 9 , y = 0 ∫₀⁹ (3 − ¹₆y − √9 − y)dy = [3y − ¹₁₂y² + ²₃√(9 − y)³]₀⁹ = = 20¹₄ − 18√3 jest ok? A jak to pole policzyć dla funkcji od x ?

Damian#UDM: Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x + 1 , y = 2^−x , y = 8 Tutaj również wyznaczyłem funkcje f(y) x = y − 1 x = log_¹2y górna funkcja x = y − 1 dolna funkcja x = log_¹2y Punkty graniczne : y = 8 i y = 1 ∫₁⁸ (y − 1 − log_¹2y)dy do logarytmu użyłem całkowania przez części. ∫₁⁸ (y − 1 − log_¹2y)dy =

	y
= [12y2 − y − ylog12y +		]18 =
	ln(12)

	7
= 4812 −
	ln2

Zadanie jest dobrze rozwiązane?

kerajs: dotyczy 24 sty 13:32 Całka jest dobrze ułożona i policzona. Błąd masz w podstawieniu granic (a ściślej, to przy podstawieniu 0) Względem x obszar całkowania nie jest obszarem normalnym. Należy go podzielić na normalne. Tu wystarczą dwa:

	3
D1: 0≤x≤
	2

	3
D2:		≤x≤3
	2

dotyczy 24 sty 13:32 Wszystko jest dobrze. Tu także względem x obszar całkowania nie jest obszarem normalnym. Należy go podzielić na dwa normalne. D₁: −3≤x≤0 D₂: 0≤x≤7

Damian#UDM: Oblicz całkę ∫sin²(2x)dx Próbowałem podstawieniem uniwersalnym t=tg(^x₂) , lecz otrzymałem taki gówniany wynik

	t2(t2−1)2		t6−2t4+t2
∫sin2(2x)dx=32∫		dt=32∫		dt
	(t2+1)5		(t2+1)5

Więc zapraszam do dyskusji i pomocy

ICSP:

	1 − cos2x
sin2x =
	2

Filip: albo INACZEJ jeszcze:

	1
sin22x =		(1 − cos4x)
	2

wiec MAMY:

	1		x		1
∫sin22x dx =		∫(1 − cos4x)dx =		−		sin4x + C
	2		2		8

chichi: Co tu innego? @ICSP pokazał tożsamość dla dowolnego kąta 'x'

Damian#UDM: No i super, na to teraz nie wpadłem. Dziękuję ICSP