Całka ∫U{1+tgx}{cosx}dx Lukasz:

	1+tgx
Całka ∫		dx
	cosx

Hej, mam do rozwiązania całkę. Właściwie ją rozwiązałem ale nie jestem pewny czy dobrze (moim znajomym wychodzi bardzo podobny wynik z tym że albo mają −1/2 przy logarytmie albo odwrotnie minusy w wartości bezwględnej) rozwiązałem to tak że rozbiłem całkę na 2, po podstawieniu itd mam 2 całki:

	cosx		sinx
∫		dx + ∫		dx
	cos2x		cos2x

	1
2. całka =
	cosx

	cosx		cosx
1. ∫		dx = ∫		dx = podstawienie za sinx = ∫U{1}{1−t2dt
	cos2x		1−sin2x

	1		A		B
rozbijam na ułamki proste		=		+
	(1−t)(1+t)		1−t		1+t

i wychodzą A=1/2 B=1/2

	1		1		1		1		1		1
dalej		∫		+		∫		= −		ln|1−t|+		ln|1+t| =
	2		1−t		2		1+t		2		2

	1		1+t		1		1+sinx
		ln|		=		ln|		|
	2		1−t		2		1−sinx

	1		1+sinx		1
Odp.		ln|		| +		+ C
	2		1−sinx		cosx

Jakby ktoś dał radę mi to sprawdzić byłbym wdzięczny. Pozdrawiam..

ICSP: Jeżeli chcesz sprawdzić wynik całki to wystarczy ten wynik zróżniczkować. Wygląda dobrze.

Filip: ICSP

Mariusz: Zgadza się ale wynik można jeszcze uprościć rozszerzając ułamek pod logarytmem i korzystając z jedynki trygonometrycznej a następnie z własności logarytmu

Lukasz: Dzięki wszystkim za odpowiedzi. @Mariusz racja, ale wolę zostawić w tej postaci żeby dalej się nie pomylić w razie co a tyle na pewno wystarczy na odp

jc: Moduł można opuścić

1 + sin x
	> 0
1 − sin x

Mariusz, jak chciałbyś zapisać wynik?

Mariusz: jc Rozszerzasz ułamek i otrzymujesz

(1+sinx)(1+sinx)
(1−sinx)(1+sinx)

(1+sinx)2
1−sin2x

(1+sinx)2
cos2x

1		(1+sinx)2		1+sinx
	ln|		|=ln|		|
2		cos2x		cosx

No ale tutaj już nie opuści modułu więc jak kto woli

Mariusz: jc jeśli używasz podstawień cyklometrycznych x=asint x=atgt

	a
x=
	cost

do liczenia całek postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx po uprzednim sprowadzeniu trójmianu kwadratowego pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej to przekształcenie którego użyłem powyżej jest nawet zalecane aby łatwiej było powrócić do poprzedniej zmiennej