Proszę o pomoc. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej... eta: Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n>3 liczba n³ + 5n² −2n−24 jest iloczynem co najmniej czterech liczb pierwszych (niekoniecznie różnych).

Filip: W(n)=n³+5n²−2n−24 W(2)=8+20−4−24=0 W(n)=(n−2)(n²+7n+12) W(n)=(n−2)(n+3)(n+4) I tutaj kończe, nie wiem co to daje, może ktoś pociągnie dalej

Filip: dla n parzystych, n+4 jest liczba parzysta >=8, oraz n−2 jest takze liczba parzysta >=2, wiec 8=2*2*2 oraz 2=2*1, czyli z tego mozna wywnioskowac, ze masz conajmniej 4 liczby pierwsze, nie wiem jak to sie ma dla n nieparzystego

Filip: dla n nieparzystego, n−2 jest liczba pierwsza >=3, oraz n+3 jest liczba >=8, czyli znowu masz 2*2*2=8 oraz n−2, czyli też są minimum 4 liczby pierwsze, może ktoś to ładnie zbierze do kupy bo dość chaotycznie napisałem

Filip: jednak dla n nieparzystego n−2 nie jest zawsze liczba pierwsza, ale n−2 dla n nieparzystego jest zawsze podzielne przez liczbe pierwsza

Filip: Dobra jednka poprosze admina o usunięcie wpisów bo jakiś syf totalny napisałem XD

Minato: W(n) = (n−2)(n+3)(n+4) jest iloczynem minimum 3 liczb różnych od 1 dla n ≥ 4. Teraz zastanów się nad tym ile jest tutaj liczb złożonych (rozpatrz przypadki dla n parzystego i nieparzystego)

Damian#UDM: n>3 , n − 3 > 0 , n − 2 > 1 , n + 3 > 6 , n + 4 > 7 W(n) = (n − 2)(n + 3)(n + 4) liczba naturalna n większa od 3, czyli co najmniej musi to być 4 dla n = 4 W(4) = 2 * 7 * 8 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7, iloczyn pięciu liczb pierwszych n − 2 > 1, czyli musi to być co najmniej 2 n + 3 > 6, czyli musi to być co najmniej 7 n + 4 > 7, czyli musi to być co najmniej 8 Z tego powinno wynikać, że jeśli dla najmniejszego naturalnego n teza jest prawdziwa, to dla każdego większego kolejnego n też powinna być prawdziwa W(5) = 3 * 8 * 9 = 3 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3, iloczyn sześciu liczb pierwszych W(6) = 4 * 9 * 10 = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 5, iloczyn sześciu liczb pierwszych W(7) = 5 * 10 * 11 = 5 * 2 * 5 * 11, iloczyn czterech liczb pierwszych W(8) = 6 * 11 * 12 = 2 * 3 * 11 * 2 * 2 * 3, iloczyn sześciu liczb pierwszych W(9) = 7 * 12 * 13 = 7 * 2 * 2 * 3 * 13, iloczyn pięciu liczb pierwszych W(10) = 8 * 13 * 14 = 2 * 2 * 2 * 13 * 2 * 7, iloczyn sześciu liczb pierwszych Najlepiej niech to ktoś potwierdzi obyty z tematem

Filip: Parzyste Dla n>=4 mamy 2 liczby parzyste jedna nieparzysta >=7 n₁>=8 i n₂>=2 takie 2 liczby parzyste mają conajmniej 3 dzielniki pierwsze (3x2) oraz mamy jedna nieparzysta − albo podzielna przez 3 albo liczbe pierwsza

eta: Podstawiając n=k+3, gdzie k>1 k∊N otrzymuję W(k) = k(k+5)(k+6) Dzięki temu dwa końcowe składniki iloczynu, to liczby różniące się o jeden. Wówczas W(2) = 2 * 7 * 8 W(3) = 3 * 8 * 9 W(4) = 4 * 9 * 10 W(5) = 5 * 10 * 11 wygląda to dla mnie lepiej − ale jak wyciągnąć wniosek ogólny?

Minato: Dla n ≥ 4 mamy n−2 ≥ 2 n+3 ≥ 7 n+4 ≥ 8 wystarczy pokazać, że co najmniej jedna z liczb (n−2), (n+3), (n+4) jest złożona (rozkłada się na iloczyn co najmniej dwóch liczb pierwszych) dla n = 2k mamy n−2 = 2k−2 = 2(k−1) jest złożone dla k≥3 n+4 = 2k+4 = 2(k+2) jest złożone dla k≥0 dla n = 2k+1 n+3 = 2k+4=2(k+2) jest złożone dla k≥0 (n−2)(n+3)(n+4) jest iloczynem co najmniej jednej liczby złożonej i dwóch dowolnych liczb, zatem w rozkładzie na czynniki pierwsze wystąpią minimum 4 liczby pierwsze