Granica, definicja Szkolniak:

	x2−4
Na podstawie definicji granicy Heinego wykaż, że limx→2		=−4.
	2−x

Rozwiązanie: Niech ciąg (x_n)⊂S(2) i niech lim_n→infx_n=2.

	xn2−4
limn→inff(xn)=limn→inf		=
	2−xn

	(xn+2)(xn−2)
=limn→inf		=
	−(xn−2)

=lim_n→inf−(x_n+2)= =−2−lim_n→infx_n=−2−2=−4 Na tym to polega? Bo szczerze mówiąc trochę nie rozumiem tych definicji granic..

chichi: Czego konkretnie tutaj nie rozumiesz? To normalne licznie granicy takie jak w szkole Tylko, że tutaj bierzesz dowolny ciąg x_n, który zmierza do 2, ale przy tym x_n≠2 i liczysz lim_n→∞f(x_n)

Szkolniak: Właśnie jakoś kompletnie nie, bo tutaj pojawiają się nowe pojęcia, takie jak sąsiedztwo czy otoczenie, gdzie w szkole to ja nie miałem takiego tematu poruszanego.. Szkolną metodą to bym pewnie zrobił po prostu w ten sposób:

	x2−4		(x+2)(x−2)
limx→2		=limx→2		=limx→2−(x+2)=−4
	2−x		−(x−2)

Jest jeszcze bodajże definicja granicy Cauchy'ego, która została mi przedstawiona w szkole, natomiast tak naprawdę nie musieliśmy jej umieć i szczerze mówiąc nie przywiązałem dużej wagi do zrozumienia jej

chichi: Tak, jest też definicja Cauchy'ego granicy, aczkolwiek ona nie bazuje na ciągach. O(x₀) to otoczenie punkt x₀ zawierające punkt x₀ (dowolny przedział otwarty zawierający ten punkt), natomiast sąsiedztwo, to x₀ S(x₀)=O(x₀) \ {x₀} − otoczenie punkt x₀ z wyłączeniem tego punktu

Szkolniak: Super, dzięki wielkie za to. W sumie jak dla mnie dosyć ciekawa sprawa, wydaje się to być dosyć podstawowym narzędziem i taką 'bazą', a nie jest to nawet wymagane w szkołach.. A mam jeszcze pytanie odnośnie reguły de l'Hospitala − czy na maturze, gdy ją zastosuję, muszę się upewnić czy mogę tej reguły użyć czy nie wiesz? Bo tak się ostatnio zastanawiałem czy tak naprawdę by mi się nie dostało za to, że posługuję się na maturze rozszerzonej takimi narzędziami, nie upewniając się że mogę to robić?

chichi: Co więcej powiem Ci, że nawet mało, który student politechniki zna definicję granicy wg Heinego czy Cauchy'ego (chyba, że sam się zagłębił), tam tak samo jak w szkole uczy się metod, schematów czy algorytmów obliczania granic, jak zwał tak zwał, a nie stricte definicji. Oczywiście na maturze możesz korzystać z reguły de l'Hospitala, mimo iż nie jest ona w programie, ale to czy użyjesz jej w odpowiednim miejscu, to zależy od Ciebie, jeśli ją stosujesz, to jasnym jest, że powinieneś wiedzieć, kiedy można ją stosować, a kiedy nie

Szkolniak: Naprawdę? W takim razie byłem przekonany że właśnie na studiach zaczynają dopiero tego wymagać i że prędzej granice liczy się korzystając z definicji niż z innych sposobów I swoją drogą, wydaje mi się że granice są jakoś mocno zaniedbane i pomijane w szkole średniej, tyle co ja tego miałem to aż szkoda gadać.. W sumie reguła de l'Hospitala może i pomaga, ale wydaje mi się że to trochę za duża armata na te przykłady z matury rozszerzonej? Bo najczęściej co tam potrzeba, rozkładu na iloczyn w liczniku i mianowniku i coś się tam skróci zapewne

chichi: Jeżeli nie ma jej w programie to znaczy, że granice, które będą w arkuszach da radę bez problemu policzyć nie znając reguły de l'Hospitala. Jeżeli chciałbyś tak od sedna zrozumieć definicje granicy, to wypadałoby przed tym jeszcze przestudiować wiele pojęć m.in. zbiór otwarty, zbiór domknięty, zbiór ograniczony, zbiór zwarty, punkt skupienia itd.

Szkolniak: Studiowanie aż tylu dodatkowych pojęć i zagadnień teraz odpada, bo zbliża mi się matura także trochę strata czasu by to dla mnie była. Jedynie powierzchownie coś tam staram się poruszyć temat, bez aż takiego zagłębiania się. No nic, dzięki wielkie i dobrej nocy życzę