całka nieoznaczona trygonometryczna Damian#UDM: Całka nieoznaczona ∫5sin⁵5xdx 1. podstawienie:

	dt
5x = t → dx =
	5

∫5sin⁵5xdx = ∫sin⁵tdt 2. podstawienie:

	2du		2u
u = tgt2 → dt =		→ sint =
	u2 + 1		u2 + 1

	u5du
∫sin5tdt = 64∫
	(u2 + 1)6

3. podstawienie:

	dm
u2 + 1 = m → du =		→ u4 = (m − 1)2
	2u

	u5du		(m − 1)2dm		dm		dm
64∫		= 32∫		= 32∫		− 64∫		+
	(u2 + 1)6		m6		m4		m5

	dm
32∫		=
	m6

	−32		16		32
=		+		−		+ C =
	3m3		m4		5m5

	−32		16		32
=		+		−		+ C =
	3(u2 + 1)3		(u2 + 1)4		5(u2 + 1)5

	−32		16		32
=		+		−		+
	3(tg25x2 + 1)3		(tg25x2 + 1)4		5(tg25x2 + 1)5

C Czy takie rozwiązanie jest poprawne? Jakieś inne pomysły na rozwiązanie takiej całki? Miłego tygodnia wszystkim życzę.

kerajs: ∫sin⁵t dt=∫(1−cos²x)²sint dt=[t=cos x]=....

Filip: I_n=∫sinⁿxdx

	1		n−1
In=−		sinnxcosx+		In−2
	n		n

Mariusz: Sam pomysł na podstawienia dobry Na pierwszy rzut oka nie popełniłeś błędu Choć gdybyś użył podstawienia zaproponowanego przez kerajsa to miałbyś jedno podstawienie mniej

Mariusz: Filip jeśli chodzi o potęgę przy sinusie to musisz ją zmniejszyć Patrz ∫sinⁿxdx=∫sinxsinⁿ⁻¹xdx ∫sinxsinⁿ⁻¹xdx=−cosxsinⁿ⁻¹x−∫(−cosx)(n−1)sinⁿ⁻²xcosxdx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xcos²xdx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²x(1−sin²x)dx ∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xdx−(n−1)∫sinⁿxdx n∫sinⁿxdx=−cosxsinⁿ⁻¹x+(n−1)∫sinⁿ⁻²xdx

	1		n−1
∫sinnxdx=−		cosxsinn−1x+		∫sinn−2xdx
	n		n

	1		n−1
In=−		cosxsinn−1x+		In−2
	n		n

Filip: Właśnie tak samo wyprowadzałem, w takim razie gdzieś muszę mieć błąd u siebie, napisze zaraz jak to u mnie wygląda

Filip: Racja, źle przepisałem w ostatnim kroku przy wyprowadzaniu

kerajs: Sorry. Mój poprzedni post miał wyglądać tak: ∫sin⁵t dt=∫(1−cos²t)²sint dt=[k=cos t]=...

Damian#UDM: No widzicie, użyłem tego uniwersalnego co niby zawsze się sprawdza, lecz czasami jest pełno liczenia Dziękuje za propozycję, trzeba dalej ćwiczyć!

Damian#UDM: I_n, czyli podstawienie rekurencyjne − to raczej jeszcze daleka przyszłość jak dla mnie, lecz trzeba działać

Mariusz: No tutaj aż tak pełno liczenia nie było bo mogłeś jeszcze raz podstawić no ale zawsze to jedno podstawienie więcej i nieco więcej liczenia niż to po tym co zaproponował kerajs A ten wzór redukcyjny jest całkiem niezły bo działa dla każdego n≥2 a jeśli go przekształcisz to także zadziała dla ujemnych n Damian użyłem tutaj całkowania przez części a następnie jedynki trygonometrycznej a ty chyba już przećwiczyłeś całkowanie przez części

Mariusz: Damian gdybyś się uczył całkować po kolei to znając podstawienia Eulera mógłbyś wymyślić podstawienia sprowadzające całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx gdzie R(x,y) funkcja wymierna dwóch zmiennych do całek z funkcji wymiernej Załóżmy dla uproszczenia że x jest gdzieś w pierwszej ćwiartce Z jedynki trygonometrycznej masz że cosx=√1−sin²x Pod pierwiastkiem masz różnicę kwadratów więc cosx=√(1+sinx)(1−sinx) Stosując trzecie podstawienie Eulera dostaniesz √(1+sinx)(1−sinx)=(1+sin(x))t To podstawienie możesz zapisać tak cos(x)=(1+sin(x))t

Damian#UDM: Dziękuje Mariusz za wskazówki No jak już wcześniej mówiłem jestem samoukiem i całek zacząłem się uczyć przede wszystkim z tego forum oraz z youtube. I tak powoli zaczynałem od podstawowych wzorów i później przechodząc do całek wymiernych,

	1		a + b
całkowania przez części, całek postaci		oraz n√		, całek
	√ax2 + bx + c		c + d

trygonometrycznych i niedługo pewnie zajdzie to dalej. Znalazłem jakieś podręczniki w internecie lecz nie korzystałem z nich raczej za bardzo, na razie próbowałem sam z zadaniami oraz z waszą pomocą tutaj. Będę próbował dalej, dziękuję za pomoc

Damian#UDM: Mariusz niedługo się odezwę do Ciebie na maila, na razie mam dużo obowiązków na głowie

Damian#UDM: Z całkowaniem przez części raczej nie mam problemu, umiem policzyć na przykład taką całkę ∫x⁴e^4xdx lub ∫x³cosxdx Więc chyba nie ma z tym problemów