Znajdź wszystkie pierwiastki równania - wynik przedstaw w postaci algebraicznej:
Lukasz: Znajdź wszystkie pierwiastki równania − wynik przedstaw w postaci algebraicznej:
z
5+z
4+z
3+z
2+1=0
(z
4+z
2+1)(z+1)=0
z=−1
z
4+z
2+1=0
t=z
2
t
2+t+1=0
Δ=−3
t1=U{−1−
√3i
t2=U{−1+
√3i
i teraz nie wiem co dalej
Bo ja to bym po prostu zrobił
Lecz wydaje mi się że jest to źle.
W podręczniku w którym jest napisane co trzeba robić dalej i każą liczyć |t1| potem cos(φ) i
sinφ tylko tego nie rozumiem wgl
jakby ktoś dał radę mi to wytłumaczyć byłbym wdzięczny.
Pozdrawiam
11 sty 01:23
Filip:
z
5+z
4+z
3+z
2+1!=(z
4+z
2+1)(z+1)
Zakładam, że wyjściowa równość to:
z
5+z
4+z
3+z
2+z+1=0
(z
4+z
2+1)(z+1)=0
z
4+z
2+1 możemy zapisać jako (az
2+bz+1)(cz
2+dz+1)
(az
2+bz+1)(cz
2+dz+1)=acz
4+adz
3+az
2+bcz
3+bdz
2+bz+cz
2+dz+1=
=acz
4+(ad+bc)z
3+(a+bd+c)z
2+(b+d)z+1
ac=1
ad+bc=0
a+bd+c=1
b+d=0
Po rozwiązaniu dostaniesz, że
(z
4+z
2+1)=(z
2−z+1)(z
2+z+1)
Więc
(z
4+z
2+1)(z+1)=0
(z
2−z+1)(z
2+z+1)(z+1)=0
| | 1±j√3 | | −1±j√3 | |
z=−1 v z= |
| v z= |
| |
| | 2 | | 2 | |
11 sty 01:55
Lukasz: z5+z4+z3+z2+1!=(z4+z2+1)(z+1)
oczywiście, że się równa.
odpowiedź poprawna dzięki
Ale da się jakoś dalej iść gdy podstawiam za z
2=t ?
bo jak t1 i t2 wyszły kolejno
to jakoś nie da się obliczyć kolejnych dwóch pierwiastków?
11 sty 02:06
Filip:
Teraz się zorientowałem, że nie musisz liczyć tego "układu równań" bo:
z4+z2+1=(z2+1)2−z2=(z2−z+1)(z2+z+1)
11 sty 02:19
6latek: Zapis postaci
| | −1−i√3 | |
z= |
| nie jest postacia algebraiczna liczby zespolonej |
| | 2 | |
Postac algebraiczna jest taka z=a+bi
| | 1 | | √3 | |
wiec powinno sie zapisac z= − |
| −i |
| |
| | 2 | | 2 | |
11 sty 08:05
jc: 6latku, czepiasz się. Chodzi o to, aby w zapisie nie używać funkcji trygonometrycznych.
11 sty 09:08
luui:
z5+z4+z3+z2+z+1=0 // dla z=1 równość nie zachodzi
(z−1)(z5+z4+z3+z2+z+1)=0
z6−1=0
z=6√1 = eikπ/3 , k∊{0,1,...,5} // odrzucamy z=1 (czyli pomijamy k=0)
11 sty 09:20
6latek: Witam.
Nie czepiam sie
No to takze zwracal uwage Karczyński (etrapez)
A jak policzy te pierwiastki to wsio rawno .
11 sty 09:22
Lukasz: Wiem, że to nie jest postać algebraiczna, ale to nie jest wynik więc nie jest to błąd. Pytałem
o to, jak dalej to przekształcić tak jak napisał to jc zeby znaleźć reszte pierwiastków.
Luui, wytłumaczysz mi trochę twój zapis? tzn nie rozumiem np czemu mnożymy *(z−1)
a potem przyrównujemy z6−1=0
11 sty 10:10
Filip:
Łukasz chodziło mi o to, że zjadłeś
z po lewej strony równości
Da się z twojego rozwiązać
16x
4+8x
2−3=0
x
2=t,t>0
To ci daje dwa rozwiązania:
| | 1 | | j√3 | | 1 | | j√3 | |
z= |
| − |
| v z=− |
| + |
| |
| | 2 | | 2 | | 2 | | 2 | |
Teraz jak rozwiążesz drugie równanie tym sposobem, dostaniesz dwa kolejne
11 sty 10:42
jc: (wg luui)
z5+z4+z3+z2+z+1=1
Mnożąc przez z−1 otrzymujemy
z6−1=0
inaczej z6=1
Mamy wzór na rozwiązania tego równania.
Mnożąc przez z−1 powinniśmy założyć, że z≠1. Nic nie tracimy, bo z=1 nie jest
rozwiązaniem oryginalnego równania. Dlatego na koniec z=1 odrzucamy.
Moglibyśmy też nic nie zakładać, tylko sprawdzić, które rozwiązania nowego równania
spełniają oryginalne równanie (analiza starożytnych).
11 sty 11:17
ICSP: Pierwiastki równania z6 = 1 powinny być dobrze znane, a jeżeli nawet nie są to tożsamość:
z6 − 1 = (z3 − 1)(z3 + 1) = (z −1)(z2 + z + 1)(z+1)(z2 − z + 1)
pozwala na ich łatwe wyznaczenie.
11 sty 11:21