Algebra Karolina11: Wyznacz wszystkie elementy nierozkładalne (z dokładnością do stowarzyszenia) w pierścieniu: Z[¹₁₅] = {a/(15)^b : a, b należą do Z}. Proszę o pomoc.

Adamm: a/15^b = (a/15^b−1)*(1/15) jest zawsze rozkładalne

Adamm: pomyłka

Adamm: 1/15 jest odwracalne Więc a/(15)^b ~ |a|, a∊N elementy nierozkładalne tutaj to liczby pierwsze

Adamm: Też nie tak. Może lepiej rozpiszę (a₁/15^b₁)(a₂/15^b₂) = 1 a₁*a₂ = 15^b₁+b₂ Zatem a₁ i a₂ muszą być postaci ±3^x*5^y, x, y∊N 3^x₁+x₂*5^y₁+y₂ = 15^b₁+b₂ x₁+x₂ = y₁+y₂ = b₁+b₂ dla dowolnych x₁, y₁, b₁ możemy dobrać x₂, y₂, b₂ które by spełniały te równości Więc elementy odwracalne w Z[1/15] są postaci ±3^x*5^y przy czym x, y∊Z a = ±3^x*5^y*p₁^x₁*...*p_n^x_n ∊ Z[1/15], to a ~ p₁^x₁*...*p_n^x_n stąd by a było nierozkładalne, a ~ p, gdzie p to liczba pierwsza ≠ 3, 5 gdyby p = b₁*b₂, to rozpisując sobie tą relację, zobaczymy że b₁ lub b₂ jest odwracalne więc p jest nierozkładalne

Karolina11: Dziękuję.