Całka nieoznaczona - gdzie zrobiłem błąd? Shizzer: (*) ∫sin²(3x)dx Przez części −> f(x) = sin3x g'(x) = sin3x

	1
f'(x) = 3cos3x g(x) = −		cos3x
	3

	1		1
∫sin2(3x)dx = −		sin3xcos3x − ∫−cos2(3x) = −		sin3xcos3x + ∫cos2(3x)dx
	3		3

(**) ∫cos²(3x)dx (**) Przez części −> f(x) = cos(3x) g'(x) = cos(3x)

	1
f'(x) = −3sin(3x) g(x) =		sin(3x)
	3

	1		1
∫cos2(3x)dx =		sin(3x)cos(3x) − ∫−sin2(3x) =		sin(3x)cos(3x) + ∫sin2(3x)dx
	3		3

	1		1
(*) ∫sin2(3x)dx = −		sin3xcos3x +		sin3xcos3x + ∫sin2(3x)dx
	3		3

0 = 0 no i gdzieś jest błąd. Czy mógłbym prosić o wskazanie, w którym miejscu rozwiązania go popełniłem?

Filip: Dlaczego liczyłeś przez części?

Shizzer: Bo taki miałem pomysł na tę całkę innego sposobu tutaj nie widzę. Chyba, że istnieje, ale ja jeszcze go nie znam

Filip: Taką całkę łatwiej jest liczyć tak:

	1		1
sin2(3x)=		−		cos(6x)
	2		2

	1		1
∫sin2(3x)dx=		(∫1dx−∫cos(6x)dx)=		x−∫cos(6x)dx
	2		2

∫cos(6x)dx u=6x du=6dx

	1
dx=		du
	6

	1		1		1
∫cos(6x)dx=		∫cosudu=		sinu=		sin(6x)+C
	6		6		6

	1		1		1		1
∫sin2(3x)dx=		(∫1dx−∫cos(6x)dx)=		x−∫cos(6x)dx=		x−		sin(6x)+C
	2		2		2		12

Mila: Bardzo się zakręciłeś. Nie można tak liczyć tej całki.

	1−cos(6x)
sin2(3x)=		i możesz całkę obliczyć w jednej linijce.
	2

Shizzer:

	1		1
Niby łatwiej, ale ja bym za cholerę nie widział, że sin2(3x) =		−		cos(6x)
	2		2

Z tego wzoru cos(2α) = cos²(α) − sin²(α) skorzystałeś?

Jerzy: Witaj Milu Można przez części,ale tak jest prościej.

Jerzy: cos(2x) = cos²x − sin²x = 1 − sin²x − sin²x = 1 − 2sin²x

Shizzer: Bardzo przydatne. Dziękuję serdecznie za pomoc!

Mila: Trochę przekształceń trygonometrycznych przydaje się. np. całka : 1) ∫sin(5x)* sin(2x) dx=... z wzoru: cos(α−β)−cos(α+β)=2sinα*cosβ 2) ∫cosx*cos(3x)=.. z wzoru: cos(α−β)+cos(α+β)=2cosα*cosβ Przejrzyj wzory a przyda się.

Mariusz: Shizzer: Jak masz całkę ∫sin²(3x)dx i chcesz ją policzyć przez części to przez części liczysz tylko raz a później korzystasz z jedynki trygonometrycznej

	1		1
∫sin2(3x)dx=∫sin(3x)sin(3x)dx=−		cos(3x)sin(3x)+		∫cos(3x)(3cos(3x))dx
	3		3

	1
∫sin2(3x)dx=∫sin(3x)sin(3x)dx=−		cos(3x)sin(3x)+∫cos2(3x)dx
	3

Teraz korzystasz z jedynki trygonometrycznej

	1
∫sin2(3x)dx=∫sin(3x)sin(3x)dx=−		cos(3x)sin(3x)+∫(1−sin2(3x))dx
	3

	1
∫sin2(3x)dx=∫sin(3x)sin(3x)dx=−		cos(3x)sin(3x)+∫dx−∫sin2(3x)dx
	3

	1
2∫sin2(3x)dx=∫sin(3x)sin(3x)dx=−		cos(3x)sin(3x)+x+C1
	3

	1		1
∫sin2(3x)dx=∫sin(3x)sin(3x)dx=−		cos(3x)sin(3x)+		x+C
	6		2

Mariusz: Te całki które podała Mila też można liczyć przez części tyle że te całki liczysz już całkując dwukrotnie przez części

Filip: Shizzer policz taką całkę przez części: ∫arctg(x)dx