Rozwiąż całkę wymierną LK00: ∫ 1/(x*√x² + x + 1) Hej, mam do rozwiązania całkę, myślę że dosyć trudną. Gdyby ktoś pomógł mi (nie mówię o jej rozwiązaniu) i dał mi jakąś podpowiedź jak ją rozbić to chętnie wysłucham, Męczę się z nią już z godzinę ponad... próbowałem liczyć na części, ale przy 2 przypadkach wychodzą logarytmy naturalne np lnx lub ln | x + √x² + 3/4 Próbowałem też jakoś wyciągać przed pierwiastek x² ale też ciężko. Gdyby tego X'a nie było przed pierwiastkiem to bym to sprowadzał do postaci kanonicznej ale tak to nie widzę sensu Proszę o pomoc na prawdę... Pozdrawiam i z góry dzięki

Mariusz:

	1
∫		dx
	x√x2+x+1

√x²+x+1=xt−1 x²+x+1=x²t²−2tx+1 x²+x=x²t²−2tx x²+x−x²t²+2tx=0 x(x+1−xt²+2t)=0 x+1−xt²+2t=0 2t+1=xt²−x x(t²−1)=2t+1

	2t+1
x=
	t2−1

	2t2+t−t2+1
xt−1=
	t2−1

	t2+t+1
xt−1=
	t2−1

	2(t2−1)−2t(2t+1)
dx=		dt
	(t2−1)2

	−2t2−2t−2
dx=		dt
	(t2−1)2

	t2−1	t2−1	(−2)(t2+t+1)
∫				dt
	2t+1	t2+t+1	(t2−1)2

	2
−∫		dt
	2t+1

=−ln|2t+1|+C

	x+2+2√x2+x+1
=−ln|		|+C
	x

Mariusz: Tej całki raczej nie policzysz przez części Tutaj dobrym pomysłem są podstawienia Eulera , jak widzisz to drugie lepiej się sprawdzi

jc: Mariusz

LK00: Mariusz, ogromne dzięki ! Ale mam jeszcze 1 pytanie √x²+x+1 = xt−1 − czy to nie powinno się równać t−x ? bo ze wzoru √ax²+bx+c = t−√ax . Chyba ze mnożymy już *x ktore stoi przed pierwiastkiem ale wtedy powinniśmy pomnożyć oba czynniki?

Mariusz: Tak tylko że ja użyłem innego podstawienia Eulera bo wiedziałem że to podstawienie którego użyłem da mi od razu logarytm Gdybym użył pierwszego podstawienia które tu napisałeś to musiałbym jeszcze rozkładać funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych

Mariusz: W ramach ćwiczenia policz tę całkę pierwszym podstawieniem Eulera i porównaj swoje obliczenia z moimi

LK00: Właśnie liczę inny przykład tym pierwszym podstawieniem i jestem na etapie sumowania ułamków prostych, więc jakbyś jeszcze mógł sprawdzić za chwilę tylko ten przykład to byłoby super.

LK00:

	1
∫
	x+√x2−x+1

√x²−x+1=t−x |² x²−x+1 = t²−2tx+x² −t²+2tx−x+1=0 x−2tx=1−t² x(1−2t)=1−t²

	1−t2
x=
	1−2t

	t−2t2−1+t2
t−x =
	1−2t

	−t2+t−1
t−x=
	1−2t

	2t2−2t+2
dx=
	1−2t

	1		2t2−2t+2
∫		*
	1−t2   −t2+t−1   + 1−2t   1−2t		1−2t

Koniec końców całka (bez podstawiania X za T) wyszła: 2ln|t|−3ln|t−¹₂|

Mariusz: Nie miałeś tam jeszcze wielomianu (tutaj stałej) powstałego z dzielenia licznika i mianownika poza tym nie jestem pewien współczynnika przy ln|t−¹₂| Ja też bym wybrał to podstawienie co ty do policzenia tej całki

Mariusz: A zgubiłeś kwadrat w mianowniku podczas liczenia pochodnej

kerajs:

	1
Widzę, że znów dla całki z 18:37 zamiast banalnego		=x , dającego szybko wynik,
	t

preferujesz czasochłonną pisaninę z II podstawieniem Eulera.

Mariusz: A ty znowu się wtrącasz

kerajs: Najwyraźniej tak, lecz przy okazji podpowiadam prostsze i szybsze rozwiązanie.

Mariusz: Korzystasz po prostu z tego że nie jestem właścicielem tej strony Gdybym był nie wtrącałbyś się

Mariusz: Ta szybsze zapewniam cię że nie pisałem go 20 minut

jc: Kerajs, tak całka pojawia się przy poszukiwaniu orbity planet/komet i tak samo jak Ty, wszyscy liczą, przechodząc do 1/r. Zamiast x jest oczywiście r.

Mariusz: LK00: Do pierwszego i trzeciego podstawienia wygenerowałem taki plik https://prnt.sc/wae3ip Może to trochę przyspieszyć liczenie całek tej postaci Pierwsze i trzecie podstawienie wystarczą do sprowadzenia tych całek do całek z funkcji wymiernych bo jeśli a > 0 to możesz użyć pierwszego podstawienia Jeśli a < 0 to gdyby b² − 4ac < 0 trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Czasami jednak (tak jak w całce z 7 sty 2021 18:37) drugie podstawienie Eulera daje całkę wymagającą mniej obliczeń

Mariusz: jc tak ale po pierwsze po tym podstawieniu będziesz miał ułamki pod pierwiastkiem co może spowodować np problemy z upraszczaniem Po wtóre bez gotowca lub area hiperbolicusów niewiele da to podstawienie

jc: Przecież będzie prosto. x=1/u, t=(2u−1)/√3

	dx		du		dt
∫		= − ∫		= −∫		= − ln(t+√1+t2)
	x √x2+x+1		√u2+u+1		√1+t2

czy jakoś podobnie

LK00: @Mariusz, dzięki za zauważenie błędu. Zrobiłem zadanie z 2 razy jeszcze raz żeby być pewny i tam chyba jeszcze 1 błąd znalazłem. Ale zrobiłem w końcu i przepisałem do pdf'a więc jak komuś chce się sprawdzać to miło, ale wydaje mmi się że jest już dobrze wszystko https://ibb.co/Dfkx6x1

Mariusz: jc No ale tego gotowca w ostatnim przejściu musisz znać bądź area hiperbolicusy

	u2+u+1		√u2+u+1
Poza tym będzie problem z tym że np √		≠
	u2		u

Niektóre programy mają problemy i słusznie z upraszczaniem takich wyrażeń LK00: Nie sprawdzałem dokładnie ale na pierwszy rzut oka wygląda że liczyłeś tak jakbyś wyciągnął dwójkę przed całkę a w ostatecznym wyniku o niej zapomniał Jeśli w pewnym momencie postawisz dwójkę przed całką a ostateczny wynik przemnożysz przez dwójkę to powinno być ok , chyba że po dokładniejszym przyjrzeniu znajdę jakiś błąd

LK00: No tak... zawsze ale to zawsze muszę albo zrobić błąd przy mnożeniu, przy zmianie znaku albo zapominam o czymś co chciałem przenieść np ta 2... I tak właśnie na egzaminach tracę punkty

Mariusz:

	dx
Pomijając wyprowadzanie x, √ax2+bx+c,
	dt

w zależności od t z podstawień Eulera dostajesz całki wymagające mniej więcej tyle samo obliczeń

	x
co podstawienie t=tg(		) dla całek postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx
	2

Ba znając podstawienia Eulera możesz dojść do podstawienia sprowadzającego całki postaci ∫R(cos(x),sin(x))dx do całek z funkcji wymiernych

	dx
Tutaj gdyby pominąć wyprowadzanie x, √ax2+bx+c,
	dt

w zależności od t to w przypadku drugiego podstawienia dostaliśmy od razu całkę dającą w wyniku logarytm I tak jak np w programowaniu bywa tak i tutaj możesz oszczędzić nieco czas kosztem pamięci

Filip: Cześć Mariusz (sory że się wtrącam), podsyłałeś kiedyś jakąś stronę z rozpisaną metodą eliminacji Gaussa wraz z wyborem elementu głównego. Było tam kilka błędów w kodzie, jednak bardzo mi się ona podobała . Masz może linka podrzucić do niej? Pozdrawiam

Mariusz: To był ważniak http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=MN05 Tak jak napisałeś jest tu kila błędów ale za to metoda eliminacji przedstawiona jest tutaj w sposób przydatny programistom tzn bez zbędnego mnożenia przez macierze odwrotne oraz z czytelnym pseudokodem

Filip: Dokładnie, dlatego pytam, ponieważ właśnie takie zadanie dostałem

Filip: Dzięki

Mariusz: Filip jakiś czas temu znalazłem kod programu odwracającego macierz i przełożyłem go z Pascala na C http://codepad.org/GZWexB6t Jako typ dla indeksów oraz wymiaru odwracanej macierzy dałem unsigned int Przekładałem ten program w miarę dokładnie i indeksowałem macierz od jedynki Gdybyś chciał przesunąć indeksy tak aby indeksowanie rozpoczynało się od zera to musiałbyś to robić ostrożnie tak aby nie pojawiły się problemy przy wstecznym iterowaniu Proponowałbym zostawić zmienne sterujące iteracjami a zmienić indeksy w miejscu gdzie odwołujesz się do elementu tablicy

Filip: Jeżeli chodzi ci o kod w pascalu, to też znalazłem wraz z algorytmem (chyba w pascalu) 1) Dla k=1,2,...,n wykonuj co następuje: przejrzyj wszytkie kolumny wiersza k nie wykorzystane do tej pory jako kolumny osiowe w poszukiwaniu elementu o największej wartości bezwzglednej. Przypisz do C[k] numer kolumny, w której znaleziono taki element, i wykonaj operacje osiowania, przyjmując ten element za element osiowy. Jeśli wszystkie takie elementy są zerami, to macierz jest osobliwa i nie można jej odwrócić.) 2) Dokonaj permutacji wierszy i kolumn w ten sposob, żeby to, co było wierszem k, stało sie wierszem C[k], a to co było kolumną C[k], stało się kolumną k. Jest tam także wyjaśniona operacja osiowania Przed osiowaniem kolumna osiowa inna kolumna a.........................b | wiersz osiowy c.........................d | inny wiersz Po osiowaniu kolumna osiowa inna kolumna 1/a.....................b/a | wiersz osiowy −c/a....................d−bc/a | inny wiersz I tutaj moje pytanie, jak dokładnie działa to osiowanie, bo jakoś tego nie umiem zobaczyć, czy to robimy dla całej macierzy?

Filip: Przy okazji, na kolejne dyskusje możemy zakładać oddzielne wątki, ze względu na tematykę

Mariusz: No to rozpocząłem odzielny wątek bo ten wątek dotyczył całek na przećwiczenie podstawień Eulera https://matematykaszkolna.pl/forum/406619.html

kerajs:

	dx
Wracając do ∫		to maruszum stwarzasz sztuczne problemy. Dla całki
	x√x2+x+1

	1
oznaczonej określenie znaku w podstawieniu		=x jest trywialne, a w nieoznaczonej można
	t

użyć wartości bezwzględnej i sgn(t). (W przykładzie podanym przez jc znak podstawienia

	dx		b
jest znany.) A jak ktoś pamięta że: ∫		=ln | x+		+√x2+bx+c| +K to
	√x2+bx+c		2

wynik otrzyma w trzech ruchach: Co więcej, pseudoproblem który wskazujesz, nagminnie ignorujesz w swoich rozwiązaniach. Ba, nawet nie jesteś świadomy, że to robisz. Nie mniej absurdalne są roszczenia które wysuwasz. Nie masz monopolu na odpowiadanie w wybranej tematyce, czy z wybranymi użytkownikami. Także netykieta oraz regulaminy forów nie zabraniają mi merytorycznych wypowiedzi w jakimkolwiek temacie. Zamiast pogrążać się w fiksacji co do swoich praw i możliwości, pogódź się z tym, że pewnie znów napiszę poddając mniej czaso− i pracochłonne rozwiązania.

Mariusz: " A jak ktoś pamięta że .."

	dx
A jak ktoś pamięta x ,		, oraz √ax2+bx+c to
	dt

z drugiego podstawienia Eulera wynik otrzyma w jednym ruchu

kerajs: Po raz kolejny uciekasz od meritum w dygresję. Nie ma sprawy, bo i tu błądzisz, mimo zamierzonego sarkazmu. Niewątpliwie, jeśli wymaga się od studenta aby umiał samodzielnie rozwiązać całkę niewymierną (a konkretnie to zawierającą pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego) bez używania zewnętrznych źródeł, to musi on coś znać na pamięć.

	dx
Zwykle, prócz elementarnego ∫		=arcsin x +C, i umiejętności zwijania trójmianu z
	√1−x2

postaci ogólnej w kanoniczną wymaga się zapamiętania TRZECH podstawień Eulera.

	dx
Zamiast nich wystarczy zapamiętać tylko JEDNO : ∫		=ln|x+√x2+k| +K (ci którzy
	√x2+k

nie lubią zwijać w kwadrat uczą się formy z mojego poprzedniego postu). I to wystarczy. Mniej do nauki i mniej do liczenia. Ot, taka drobna różnica.

6latek: W dziejszej dobie nie widze potrzeby liczenia takich całek ręcznie Sa programy do liczenia lub ksiazki np taka https://zapodaj.net/bd74ba97908f9.jpg.html Pytanie : Czy tak naprawde wszyscy wiedza co to sa funkcje kolowe a licza arcsin(x) arctg(x), czy sinusy cosinusy hiperboliczne ?

Mariusz: 6latek jak wiesz całki miałem w szkole średniej i jeszcze wtedy nie miałem hiperbolicusów i area hiperbolicusow Z tego co pamiętam to chyba tylko podstawieniami cyklometrycznymi wtedy takie całki mógłbym liczyć Zaraz po liceum wpadły mi w ręce notatki ze studiów i tam były podstawienia Eulera Jak ten czas leci było to wtedy gdy kerajs jeszcze w pieluchy robił

kerajs: O, a teraz to nawet od dygresji uciekasz w ... pieluchy Jak się ogarniesz, to możemy wrócić do konstruktywnej wymiany poglądów. Teraz to nie ma sensu.