trygonometria
damn_ik: Wykaż, że jeśli α, β, γ są kątami trójkąta i zachodzi równość
| | sin2α | | tg2α | |
|
| = |
| , |
| | sin2β | | tg2β | |
to α=β lub γ = 90 stopni.
pierwszy wniosek to taki, że α, β nie mogą mieć 90 stopni, bo tanges nie istnieje wówczas,
reszta zbytnio nie idzie.
7 sty 17:29
Szkolniak:
Z twierdzenia cosinusów:
| | b2+c2−a2 | |
1) a2=b2+c2−2bc*cosα → cosα= |
| |
| | 2bc | |
| | a2+c2−b2 | |
2) b2=a2+c2−2ac*cosβ → cosβ= |
| |
| | 2ac | |
Z treści zadania:
| | sin2β | | sin2α | |
sin2α* |
| =sin2β* |
| |
| | cos2β | | cos2α | |
| | sin2α*sin2β | | sin2α*sin2β | |
|
| = |
| |
| | cos2β | | cos2α | |
| | cos2β | | cos2α | |
|
| = |
| |
| | sin2α*sin2β | | sin2α*sin2β | |
cos
2β−cos
2α=0
(cosβ+cosα)(cosβ−cosα)=0
(1) cosβ+cosα=0 v (2) cosβ=cosα
ad (1)
| | a2+c2−b2 | | b2+c2−a2 | |
|
| + |
| =0 /*2abc |
| | 2ac | | 2bc | |
b(a
2+c
2−b
2)+a(b
2+c
2−a
2)=0
a
2b+bc
2−b
3+ab
2+ac
2−a
3=0
a
2b+ab
2+bc
2+ac
2−b
3−a
3=0
ab(a+b)+c
2(a+b)−(a+b)(a
2−ab+b
2)=0
(a+b)(ab+c
2−a
2+ab−b
2)=0
ab+c
2−a
2+ab−b
2=0, bo a,b>0
c
2=a
2−2ab+b
2
c
2=(a−b)
2
c=a−b
ad (2)
| | b2+c2−a2 | | a2+c2−b2 | |
|
| = |
| / *2abc |
| | 2bc | | 2ac | |
a(b
2+c
2−a
2)=b(a
2+c
2−b
2)
ab
2+ac
2−a
3=a
2b+bc
2−b
3
(ab
2−a
2b)+(ac
2−bc
2)+(b
3−a
3)=0
ab(b−a)+c
2(a−b)−(a
3+b
3)=0
−ab(a−b)+c
2(a−b)−(a+b)(a
2−ab+b
2)=0
ab(a−b)−c
2(a−b)+(a+b)(a
2−ab+b
2)=0
(a−b)(ab−c
2+a
2−ab+b
2)=0
(a−b)(a
2+b
2−c
2)=0
a=b v a
2+b
2=c
2
Zatem:
a=b ⇒ α=β
a
2+b
2=c
2 ⇒ y=90
o
Swoją drogą, co odnośnie pierwszego rozwiązania z pierwszego równania?
c=a−b, jak powinniśmy to rozpatrywać?
7 sty 18:01
damn_ik: o Jezu, teraz patrzę, że w tej równości przy tangesach nie miało być kwadratów..
7 sty 19:19
damn_ik: ale też ładnie zrobione i to!
7 sty 19:20
Szkolniak: 
żeś mi dał zadanie − w takim razie też bardzo dziwne, że rozwiązania mi wyszły
poprawne?
7 sty 19:21
Szkolniak: No dobra.
Z równości podanej w zadaniu otrzymujemy równość równoważną:
Podstaw pod cosinusy to co wyznaczyłem w poprzednim poście, lewa strona
| | sinα | | a | |
(z twierdzenia sinusów) równa jest |
| = |
| . |
| | sinβ | | b | |
Daj znać czy wyjdzie
7 sty 19:26
damn_ik: doszedłem do postaci a
2+b
2=c
2, więc kąt jest 90 stopni.
Jeden z warunków spełniony, czyli chyba koniec
7 sty 19:58
Szkolniak: | a | | a2+c2−b2 | | 2bc | |
| = |
| * |
| |
| b | | 2ac | | b2+c2−a2 | |
| a | | b(a2+c2−b2) | |
| = |
| |
| b | | a(b2+c2−a2) | |
a
2(b
2+c
2−a
2)=b
2(a
2+c
2−b
2)
a
2b
2+a
2c
2−a
4=a
2b
2+b
2c
2−b
4
a
2c
2−a
4=b
2c
2−b
4
a
4−a
2c
2=b
4−b
2c
2
(a
4−b
4)+b
2c
2−a
2c
2=0
(a
2−b
2)(a
2+b
2)−c
2(a
2−b
2)=0
(a
2−b
2)(a
2+b
2−c
2)=0
a
2−b
2=0 v a
2+b
2=c
2
a
2=b
2
a=b, bo a,b>0 v a
2+b
2=c
2
7 sty 20:24
Filip:
Oczywiście rozwiązanie
Szkolniaka jest poprawne, przedstawię szybsze
sinαcosα=sinβcosβ |*2
2sinαcosα=2sinβcosβ
sin(2α)−sin(2β)=0
2cos(α+β)cos(α−β)=0
α−β=0⇒α=β
v
α+β=90⇒γ=90
7 sty 20:32
Filip: tam 2cos(α+β)sin(α−β)
7 sty 20:33
damn_ik: racja @Szkolniak , u mnie podzieliłem przez (a2 − b2) czyli przez 0 ajaj.
w takim razie serdeczne dzięki!
7 sty 20:37
Szkolniak: Dzięki
Filip, kompletnie nie pomyślałem w tym kierunku, ponieważ zdecydowanie wolę iksy
niż sinusy i cosinusy..
7 sty 20:42
Filip:
Początkowo wychodziłem od równości
Jednak po przekształceniach jej, udało mi się jedynie wykazać, że α=β. Niestety nie doszedłem
do wykazania drugiej równości, być może właśnie ze względu na błąd autora przy przepisywaniu
7 sty 20:56