Wyznacz ekstrema funkcji f(x,y)=x^3-2y^3-3x+6y+1 siema: Wyznacz ekstrema funkcji f(x,y)=x³−2y³−3x+6y+1 Zaczynam od policzenia pochodnych

df
	=3x2−3
dx

df
	=−6y2
dy

Przyrównuję je do zera

⎧	3x2−3=0
⎩	−6y2+6=0

3x²=3 /:3 x²=1 x=−1 lub x=1 −6y²=−6 /:(−6) y²=1 y=−1 lub y=1 Otrzymuję pary punktów podejrzanych P₁=(−1, −1), P₂=(1, −1), P₃=(−1, 1), P₄=(1, 1) Liczę pochodne drugiego rzędu:

d2f
	=6x
dx2

d2f
	=0
dydx

d2f
	=0
dxdy

d2f
	=0
dy2

Tworzę hesjan i liczę wyznaczniki dla tych punktów [ 6x 0 ] H = [ 0 −12y ] det H = 6x*−12y − 0*0 = −72xy det H(P₁)=−72 <0 nie ma ekstremum det H(P₂)=72 >0 6x>0 jest minimum det H(P₃)=72 >0 6x<0 jest maksimum det H(P₄)=−72 <0 nie ma ekstremum Odp: Funkcja osiąga w punkcie (1, −1, −5) minimum. Funkcja osiąga w punkcie (−1, 1, 7) maksimum. Dobrze jest? W odpowiedziach nie ma maksimum.

jc: f(x,y)=x³−2y³−3x+6y+1=h(x)−2h(y)+1, gdzie h(x)=x³−3x. h'(x)=3x³−3=3(x−1)(x+1) funkcja h ma minimum lokalne w punkcie 1 i maksimum lokalne w punkcie −1. Zatem funkcja f ma minimum lokalne w punkcie (1,−1) i maksimum lokalne w punkcie (−1,1). W punktach (1,1) i (−1,−1) mamy siodła. W odpowiedziach brakuje maksimum lokalnego. Jak dosłownie brzmi odpowiedź? bo stwierdzenie: funkcja osiąga w punkcie (1,−1,−5) nie jet poprawne.

siema: Minimum w punkcie (1, −1) f_min(1, −1)=−5 kurs eTrapez

piotr: https://www.wolframcloud.com/obj/a88e87de-cf85-46a5-afdf-872825f80765