Liczby, zadanie Szkolniak: Witam, natrafiłem na pewne zadanie i postanowiłem że się z nim spróbuję. Treść: Ile jest n−cyfrowych liczb naturalnych o sumie cyfr równej 3? Mam rozwiązanie zapisane na kartce, natomiast tak naprawdę nie wiem czy o to tutaj chodziło, a mianowicie udało mi się wyprowadzić wzór na to, który wygląda następująco: Niech (c_n) będzie ciągiem mówiącym nam, zależnie od n, ile istnieje takich liczb n−cyfrowych naturalnych o sumie cyfr równej 3. U mnie: c₁=1 c₂=3

	n n		n−1 2		n−1 1		n−1 1
cn=		+		+		+		, dla n∊{3,4,5,6,...}

Pytanie czy o to tutaj chodziło? A jeśli tak, czy jestem w stanie zapisać to za pomocą jednego wzoru?

Filip:

n+1 2

Szkolniak: Jak do tego doszedłeś?

janek191: Może tak? To będą liczby postaci:

	n−1 2
111000...0,

2100...0, n −1 1200...0. n − 1 3000...0 1 Jest ich

n−1 2
	+ 2*( n −1) + 1

Jerzy: 10:14 , to jest dobre rozwiązanie.

janek191: Jeszcze trzeba dodać, że n ≥ 3

Jerzy: Niekoniecznie Musimy jeszcze dodać: 3 30 21 12 111 i będzie komplet.

Szkolniak: janek191 nie napisałem dokładnie tego samego?

Jerzy: @Szkolniak,dlaczego uważasz,że: n≥3 ?

Szkolniak:

	n−1 2
Jerzy pojawia mi się symbol Newtona		i robię założenie, że n−1≥2 ⇔ n≥3.

Jerzy: Najpierw rozpatrujemy n∊(1,3) , a potem n > 4

Jerzy: * [1,3]

Jerzy: 14:25, n > 3 oczywiście.

Szkolniak: W jakim sensie rozpatrujemy? Z tego co widzę Filip podał wzór za pomocą którego jesteśmy w stanie obliczyć to od "jedynki", natomiast nie wiem z czego to wywnioskować..

Mila: x₁+x₂+........+x_n=3, x₁≥1, x₁+x₂+...........x_n=2 liczba rozwiązań nieujemnych całkowitych

2+n−1 2		n+1 2		n*(n+1)
	=		=
				2

Dla n=1 mamy jedną liczbę dla n=2 mamy 3 liczby dla n=3 mamy 6 liczb Zastosowanie kombinacji z powtórzeniami.

Filip: Podejscie doprowadzajace do mojego wyniku Mamy 3 opcje (1) jedna '3' i reszta zera (2) jedna '2', jedna '1' i reszta zera (3) trzy '1' reszta zera (1) '3' znajduje sie na poczatku − takich przypadkow mamy 1 (2) '2' lub '1' na poczatku, przypadki sa "symetryczne" wiec mozemy to zapisac jako 2(n−1) (3)

	(n−1)(n−2)
dla trzech '1' mamy
	2!

Dodajac wszystko

	(n−1)(n−2)		2+4n−4+n2−n−2n+2		n2+n		n+1 2
1+2(n−1)+		=		=		=
	2		2		2