Funkcja ciągła ^^^^: Dana jest funkcja ciągła f : [a, b] → R.Funkcja ma ona cztery różne miejsca zerowe w przedziale [a, b]. Które zdania są prawdziwe ? a) Może istnieć pięć różnych punktów przedziału (a, b), w których f osiąga ekstrema. b) ustnieją co najmniej trzy różne punkty przedziału (a, b), w których f osiąga ekstrema. c) Istnieją co najwyżej trzy różne punkty przedziału (a, b), w których f osiąga ekstrema. d) Może istnieć siedem różnych punktów przedziału (a, b), w których f osiąga ekstrema.

Łyba: Wg mnie (a), (b) oraz (d)

Adamm: Intuicyjnie. Jeśli mamy jakiś odcinek (c, d) na którym funkcja rośnie/maleje i jest niezerowa, to możemy podmienić funkcję na tym odcinku, żeby miała dowolną parzystą liczbę ekstremów. Jeśli x₁ < ... < x_n to ekstrema f w [a, b], to f musi rosnąć/maleć w każdym z przedziałów [x_i, x_i+1]. Wtedy jeśli w [x_i, x_i+1] istnieje zero, to musi być jedyne. Zatem jeśli f ma n ekstremów w [a, b], to ma co najwyżej n−1 zer. a i b zawsze to ekstrema, więc f ma n−2 ekstremów w (a, b). Zatem jeśli f ma m ekstremów w (a, b), to ma co najwyżej m+1 pierwiastków. Zatem f musi mieć co najmniej 3 ekstrema w (a, b). Dalej, sinus na [0, 4π] ma 3 ekstrema w (0, 4π) i 4 pierwiastki. Przykład z czterema ekstremami dostaniemy rozważając [0, 4π+3π/4]. W takim razie, f może mieć dowolną liczbę ≥ 3 ekstremów w (a, b).

Adamm: Oczywiście funkcja może mieć nieskończenie wiele ekstremów, i wtedy ma ich nieprzeliczalnie wiele.

Adamm: Podobne rozumowanie pokazuje, że funkcja f: [a, b]→R która ma t pierwiastków może musi i może mieć ≥ t−1 ekstremów w (a, b).

Adamm: Gdzie t to liczba skończona.

Adamm: "Oczywiście funkcja może mieć nieskończenie wiele ekstremów, i wtedy ma ich nieprzeliczalnie wiele." Może mieć ich przeliczalnie wiele. Wystarczy podmienić nasz odcinek (c, d) na taki który ma przeliczalnie wiele ekstremów. Np. za pomocą przesuniętej funkcji f(x) = x sin(1/x) na [0, 1].

^^^^: @Adamm Dziękuję bardzo