Odwzorowania liniowe jaros: Pomógłby mi ktoś z tym zadaniem i wytłumaczył mi co i jak się tutaj robi? Obecnie nie mam się kogo spytać i nie wiem jak poradzić sobie z takim zadaniem. Dane jest odwzorowanie liniowe g : R³ −→ R³ określone wzorem g(x, y, z) = ((m − 2)x + 2y − z, 2x + my + 2z, 2mx + 2(m + 1)y + (m + 1)z) a) Wyznaczyć rząd odwzorowania g dla różnych wartości parametru m. b) Dla kt ́orych warto ́sci parametru m odwzorowania g jest izomorfizmem?

Adamm: Najpierw trzeba zapisać g jako macierz. g = [ m−2, 2, −1 ] [ 2, m, 2 ] [ 2m, 2(m+1), m+1 ] Dalej sprowadzasz do postaci trójkątnej metodą Gaussa izomorfizm będzie wtedy gdy rząd = 3

Adamm: metoda Gaussa żeby obliczyć rząd g

jc: Kolumny macierz kwadratowej są liniowo niezależne ⇔ wyznacznik macierzy ≠ 0 Wyznacznik g = m(m−1)(m−2) Wniosek. Dla m≠0,1,2 rząd = 3. m=0, 1, 2 rozpatrujemy osobno. m=0 −2 2 −1 2 0 2 0 2 1 −1 1 −1 1 0 2 0 1 1 −1 1 −2 1 0 2 0 1 0 −1 1 0 1 0 0 0 1 0 rząd = 2 pozostaje do rozpatrzenia m=1 i m=2

jaros: Przez jakie wyrażenia w metodzie Gaussa mnożysz Macierz G by uzyskać g = m(m−1)(m−2)?

jc: Nie mnożę, policzyłem wyznacznik.

jaros: Metodą steinera?

jc: Wykorzystałem twierdzenie: Kolumny macierz kwadratowej są liniowo niezależne ⇔ wyznacznik macierzy ≠ 0 W zadaniach z parametrami wyznacznik pomaga.

jaros: Znaczy, która metodą? bo jak dopisywałem do tej kolumny 2 pierwsze wiersze i sporo liczenia jest, a twierdzenie o którym piszesz sprawdza się chyba rzędem macierzy

jc: Spróbujmy inaczej. m−2, 2, −1 2, m, 2 2m, 2(m+1), m+1 Od III wiersza odejmijmy I i II. m−2, 2, −1 2, m, 2 m, m m Widać, że m=0 to osobny przypadek Załóżmy więc, że m≠0 i podzielmy ostatni wiersz przez m. m−2, 2, −1 2, m, 2 1 1 1 m−1 3 0 0 m−2 0 1 1 1 Jeśli m≠1, 2, (i oczywiście 0) to mamy rząd 3. Teraz rozważ 3 osobne przypadki: m=0,1 ,2. m=0 rozpatrzyłem wcześniej. m=1 0 3 0 0 −1 0 1 1 1 rząd = 2 m=2 1 3 0 0 0 0 1 1 1 rząd = 2

jaros: Dobra wszystko rozumiem tylko jeszcze malutkie pytanko Wyznacznik g = m(m−1)(m−2) "Wniosek. Dla m≠0,1,2 rząd = 3." A jak było h=(m−1)(m−2) to dla m≠0,1,2 rząd by wyniósł 2?

Adamm: Jeśli macierz jest n x n to wyznacznik ≠ 0 ⇔ rząd = n