Całka wymierna trzeciego stopnia Damian#UDM: Jak zabrać się za tą całkę?

	dx
∫
	x3 + 3x + 8

Damian#UDM: Spróbowałem tak: x³ + 3x + 8 = (x − a)(x² + bx + c) Czyli wykorzystać równanie tożsamościowe, lecz po przekształceniach otrzymałem identyczne równanie:

⎧	b−a=0
⎨	c−ab=3
⎩	−ac=8

a³ + 3a + 8 = 0 Więc nie tędy droga

Filip: jaki to poziom?

Mariusz: x=u+v (u+v)³+3(u+v)+8=0 u³+3u²v+3uv²+v³+3(u+v)+8=0 u³+v³+8+3uv(u+v)+3(u+v)=0 u³+v³+8+3(u+v)(uv+1)=0 u³+v³+8=0 3(u+v)(uv+1)=0 u³+v³=−8 uv+1=0 u³+v³=−8 uv=−1 u³+v³=−8 u³v³=−1 t²+8t−1=0 (t+4)²−17=0 (t+4−√17)(t+4+√17)=0 u³=−4+√17 v³=−4−√17 x=³√−4+√17+³√−4−√17

Damian#UDM: Super, dziękuje Mariusz za pomoc!

Damian#UDM: Muszę ogarnąć rozwiązywanie takich złożonych równań

Mariusz: Damian jeżeli chodzi o dokończenie tej liczenia tej całki to proponuję zdefiniować sobie liczbę λ=³√−4+√17+³√−4−√17 Po podzieleniu wielomianu trzeciego stopnia przez dwumian (x−λ) dostaniesz x³+3x+8=(x−λ)(x²+λx+λ²+3) Ten trójmian kwadratowy jest nierozkładalny nad ℛ

A		Bx+C		1
	+		=
x−λ		x2+λx+λ2+3		x3+3x+8

A(x²+λx+λ²+3)+(Bx+C)(x−λ)=1 A(x²+λx+λ²+3)+B(x²−λx)+C(x−λ)=1 A+B=0 λA−λB+C=0 (λ²+3)A−λC=1 I dopiero po skończonych obliczeniach wstawiasz λ=³√−4+√17+³√−4−√17

Mariusz: Damian twój pomysł nie był zły Nie wyliczyłbyś wprawdzie z tego pierwiastków mianownika ale rozłożyłbyś funkcję podcałkową na sumę ułamków prostych a następnie policzyłbyś całkę

Mariusz: Damian jeśli chodzi o rozwiązywanie takich równań to przeczytaj ten pdf http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1110.pdf Jeśli będziesz miał jakieś pytania to pisz Jeśli chodzi o całkowanie funkcji wymiernych to w przypadku gdy mianownik posiada pierwiastki wielokrotne, zwłaszcza gdy te wielokrotne pierwiastki są zespolone wtedy wygodnym w użyciu może być metoda Ostrogradskiego Jeśli chodzi o podstawienia Eulera o których kiedyś już zaczęliśmy pisać ale nam przeszkodzono to kiedyś wygenerowałem taki plik https://prnt.sc/wae3ip Jeśli zaciekawiła cię metoda Ostrogradskiego to mogę spróbować ci ją przedstawić