Pole trójkąta DAniel: Pole S trójkąta spełnia warunek S= a² − (b−c)² gdzie a,b,c są długościami boków trójkąta.

	α		8
Wykazać , że tg		=		gdzie α jest miarą kąta wewnętrznego leżącego naprzeciw boku
	2		15

o długości a

Filip: Tw cosinusow a²=b^c+c⁻2bcosαα a²−b²−c²=−2bccosα S=a²−b²−c²+2bc=2bc−2bccosα

	bcsinα
S=		=2bc−2bccosα⇒sinα=4(1−cosα)
	2

sinα=4(1−cosα) |² 1−cos²α=16−32cosα+16cos²α Podstawienie t=cosα,t∊<−1,1)

	α
I dostajesz rownanie kwadratowe, masz z tego cosα, pozniej liczysz cos		, bo
	2

	α
cosα=cos(2		)
	2

	α
No i sin		z j. trygonometrycznej i powinno wyjsc. Moj sposob jest dosyc zmudny. Poczekaj
	2

na geometrycznych "swirow", pewnie znajda szybsze rozwiazanie

chichi: Widziałem to zadanie kiedyś na innym forum i nawet o dziwo rozwiązanie, które podaje @Filip przepisane kropka w kropkę. Można do zadania podejść jeszcze inaczej: narysować trójkąt, wpisać okrąg uzależnić boki od siebie prowadzać promienie do punktów styczności, połączyć środek okręgu z wierzchołkami i

	α
przecież powstanie tam kąt		, bo środek okręgu wpisanego wyznaczają dwusieczne kątów w
	2

trójkącie. Skorzystać z warunku w zadaniu, podłubać i wyjdzie P.S. Skąd ty wynajdujesz te zadania? One są z konkursów ze starych lat, więc jestem ciekaw

chichi: Dla jasności, nie mówię, że ty je skopiowałeś czy coś, bo rozwiązania mogą przecież się powtarzać

Filip: No tak, jednak jest to najlatwiejszy sposob do "zauwazenia" i do zrobienia, przykladowo na twoj raczej bym nie wpadl.

	α
Szukalem jeszcze rozwiazania rownania sinα=4(1−cosα), aby od razu tg		wyliczysz, czyli
	2

	α   sin   2
przykladowo dojsc do rownania kwadratowego, gdzie t=		, jednak mi sie
	α   cos   2

nie udalo

	α
niech t =
	2

Wolfram pokazuje, ze rownanie to mozna doprowadzic do postaci sinα=8sin²t, idac dalej 2sintcost=16sin²t | /cos²t 16tg²t−2tgt=0

	1
2tgt(8tg−1)=0⇒tgt=		, jednak nie jest to poprawny wynik, moze jakis blad zrobilem
	8

chichi: @Filip to własnie całe piękno geometrii wrócę do tego zadania, ale po nowym roku.. A jak już tu jestem to szczęśliwego nowego roku i powodzenia na studiach, abyśmy dali radę na tym 1 roku XD. Szczęśliwego nowego roku i dużo zdrówka oczywiście dla wszystkich forumowiczów

HGH: chichi Filip, z ciekawosci co i gdzie studiujecie?

Filip: Takkk...wszystkiego dobrego w nowym roku 2021, zdrowia na duszy, ciele i umysle HGH chichi HGH informatyka stosowana na politechnice warszawskiej

chichi: Matematyka, UJ

Filip: To moze ktos doswiadczony powie gdzie robie blad.

	α		8
Konczac zadanie moim pierwszym sposobem, dochodze, ze tg		=		i to sie zgadza z
	2		15

zadaniem.. Natomiast mam drugi sposob (bledny?)

	α
niech t=
	2

sinα=4−4cosα (cosα=1−2sin²t) sinα=4−4+8sin²t sinα=8sin²t 2sintcost=8sin²t | /2cos²t

sint		sin2t
	−4		=0
cost		cos2t

tgt(1−4tgt)=0

	1
tgt=
	4

	α		1
tg		=		−− dlaczego te wyniki sie od siebie roznia?
	2		4

chichi:

	8
Sprawdź czy, aby na pewno w twoim 1 rozwiązaniu to tan(α) nie wyszedł ci
	15

Filip: Z tym podstawienie t=cosα? Wyszedl, w dwoch nastepnych juz nie

chichi: 1−cos²(α)=16−32cos(α)+16cos²(α) 17cos²(α)−32cos(α)+15=0 (17cos(α)−15)(cos(α)−1)

	15
cos(α)=
	17

	15		8
sin(α)=4−4cos(α)=4−4*		⇒ sin(α)=
	17		17

	817		8
tan(α)=		⇒ tan(α)=
	1517		15

A nas jaki interesował?

chichi: Napisałem Ci to o 14;41 żebyś sprawdził czy przypadkiem nie policzyłeś tan(α) zamiast

	α		α		1
tan(		). Z pierwszego sposobu również otrzymasz tan(		)=
	2		2		4

Filip:

	α
Racja, z pierwszego policzylem tanα zamiast tan		...no tak, to wychodzi
	2

	α		1
tan		=		, wiec te rozwiazanie jest niepoprawne?
	2		4

chichi: Ja jeszcze nie robiłem żadnym sposobem, ale nie widzę błędów w twoim rozumowaniu no i dziwnym trafem akurat szukana liczba pojawia się, ale nie tam gdzie trzeba

Filip: Trzeba czekac az autor postu sie wypowie

chichi: Prędzej mandat dostanę za przemieszczanie

Filip: Na Sylwestra wprowadzilismy godzine policyjna, ale jej nie wprowadzilismy, bo nie mozemy, dlatego to jest tylko zakaz przemieszczania sie od 19:00 do 6:00, ktorego nie wprowadzilismy, ale jednak wprowadzilismy, ale nie jest zakazem a jedynie prosba, ktora nie jest prosba tylko apelem, dlatego go odwoluje, jednoczenisie apelujac o jego przestrzeganie Mandatow za nieposluchanie apelu nie bedzie ale moga byc, jesli beda. W skroce: moze beda, moze nie beda. Rozumiem, ze tego nie rozumienie, dlatego prosze o zrozumienie, bo sam tego nie rozumiem

chichi: W końcu ktoś mi to wytłumaczył w możliwie największym skrócie, dzięki @Filip XD

6latek: chichi Zadanie jest ze zbioru Witamy w szkole sredniej Aleksander Śnieżek, Paweł Tęcza Zbior zadan z matematyki Rzeszów 2006 Wskazowka Z zalozenia ze wzoru S=0,5bc sinαi z tweirdzenia cosinusow otrzymujemy

1
	bcsinα=b2+c2−2bccosα−b2+2bc−c2 czyli sinα−4cosα
2

6latek: poprawiam zapis sinα= 4−4cosα (tak ma byc . Jeszcze nie piłem

Filip:

	8
Do tego doszedlem, jednak rozwiazujac to rownanie, tak jak zauwazyl chichi, tanα=
	15

	α
a nie tan
	2

a@b:

	α		1
tg		=
	2		4

Mila: sinα=4(1−cosα)

α

α

α

α

α

α

2sin

*cos2

=4*(sin2

+cos2

−cos2

+sin2

)

2

2

2

2

2

2

stąd

	α		1
tg		=
	2		4

===========

jc: 2P=ac sin β = bc sin α 2P cos α = bc sin α cos α = (bc sin 2α)/2 ≤ bc/2 2P cos b= ac sin β cos β = (ac sin 2β)/2 ≤ ac/2

	b+c/2		a+c/2		a+b+c
√2P(√cos α+ √cos β ≤ √bc/2 + √ac/2 ≤		+		=
	2		2		2

Filip: Nie ma co pisać, autor ma to totalnie gdzieś, jeszcze treść zadania przepisał niepoprawnie