Rozwiąż rówannie jaros: Pokazał by mi ktoś jak rozwiązać takie równanie? (z+1)ⁿ − (z−1)ⁿ = 0, n∊C

Adamm: Niech F to ciało. W grupie F^* = F\{0} z mnożeniem, zdefiniujmy J_n = {x ∊ F^* : xⁿ = 1}. Załóżmy że aⁿ = bⁿ dla a, b∊F, n>0. Jeśli a = 0, to b = 0. W przeciwnym razie: aⁿ = bⁿ ⇔ (ab⁻¹)ⁿ = 1 ⇔ ab⁻¹ ∊ J_n ⇔ a = b*w dla pewnego w ∊ J_n Widzimy tutaj ogólny fakt − n−tą potęgę można opuścić, jeśli przemnoży się przez n−ty pierwiastek z jedynki.

jaros: Znaczy ja wpadłem na pomysł zapisanie tego w taki sposób:

	z+1
(		)n = 0 i potem cos z tym zrobić
	z−1

ICSP: Dziwne to przekształcenie.

jaros: Czyli nie tędy droga?

jaros: A ktoś przedstawił by mi rozwiązanie tego przykładu? @adamn dziękuje za czas poświęcony w wpis ale nie wiem co zrobic i tak

an:

	z+1
(		)n=1
	z−1

n=0

Filip: Twoje przeksztalcenie jest prawie poprawne (z+1)ⁿ−(z−1)ⁿ=0 (z+1)ⁿ=(z−1)ⁿ

	z+1
(		)n=1
	z−1

z+1
	=e2jkπ/n, dla k = 0, 1, 2...n−1
z−1

	e2jkπ/n+1
z=
	e2jkπ/n−1

an

jaros: @Filim użyłeś przekształcenia na liczbę eulera ale jak?

Filip: symbol eulera: e^jφ=cosφ+jsinφ Wiesz ze istnieje dokladnie n pierwiastkow zespolonych stopnia n z liczby zespolonej z=|z|(cosφ+jsinφ):

	φ+2kπ		φ+2kπ
wk=n√|z|(cos		+jsin		), dla k = 0,1,2...n−1
	n		n

Obliczmy przykladowo pierwiastki zespolone stopnia 3 z 1 podstac trygonometryczna liczby 1 −> cos0+jsin0

	0		0
w0=5√1(cos		+jsin		=1
	5		5

	0+2π		0+2π		2π		2π
w1=5√1(cos		+jsin		)=cos		+jsin
	5		5		5		5

	4π		4π
w2=cos		+jsin
	5		5

itd... zamieniajac to na symbol eulera dostaniesz e^2kπj/n

Filip: sory, dalem n=3, a w obliczeniach przyjalem 5, wiec dokoncze... .

	6π		6π
w3=cos		+jsin
	5		5

	8π		8π
w4=cos		+jsin
	5		5

Filip: Zalozylem, ze chodzi ci o prawa strone rownania, daj znac czy rozpisac ci takze lewa

jaros: Rozpisał byś też lewą? Dzięki za pomoc

Filip: Tak tak wlasciwie nie lewa strone, a cale rownanie do postaci ktora otrzymalem niech u=e^2kπj/n

z+1
	=u
z−1

z−1		2
	+		=u
z−1		z−1

2
	=u−1
z−1

2
	=z−1
u−1

2+u−1
	=z
u−1

	u+1
z=
	u−1