dowód mydlix: Udowodnij, że liczby 2013 nie da się zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Adamm: Załóżmy że się da. x²+y² = 2013 Gdyby x, y ≠ 0 (mod 3), to x²+y² ≡ 2 (mod 3), ale 3|2013, sprzeczność. Zatem 3|x, y więc 9|2013, sprzeczność.

mydlix: Nie rozumiem

Adamm: Mogę spróbować wytłumaczyć, ale muszę wiedzieć czego.

mydlix: "Gdyby x, y ≠ 0 (mod 3), to x²+y² ≡ 2 (mod 3)"

Adamm: Ok. Chodzi o to, że jeśli mamy jakąś liczbę x, i ona nie jest podzielna przez 3, to jej kwadrat zawsze da resztę z dzielenia przez 3 równą 1. Jeśli x ≡ 1 (mod 3) to x² ≡ 1 (mod 3), a jeśli x ≡ 2 (mod 3), to x² ≡ 2² = 4 ≡ 1 (mod 3). Jeśli nie znasz rachunku modulo, to możesz to sobie wyprowadzić obliczając (3k+1)² oraz (3k+2)².

mydlix: Czyli na przykład jeżeli: x² ≡ 1 (mod 3) i y² ≡ 1 (mod 3) to x² + y² ≡ 2 (mod 3), tak? I dziękuję za poświęcony czas.

kerajs: Czasami jest ciut trudniej. Udowodnij, że liczby 2021 nie da się zapisać w postaci sumy kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Adamm: Tak, dokładnie o to chodzi. Normalnie w teorii zbiorów definiuje się coś takiego jak relacja równoważności. Chodzi o to że dzielimy zbiór na klasy, np. na podstawie jakiejś własności, i mówimy że dwa elementy z tego zbioru do siebie przystają, jeśli są w tej samej klasie. W ten sposób utożsamiamy pewne elementy ze sobą. Na przykład, liczbę wymierną p/q możemy traktować jako klasa par (p, q), q≠0, gdzie (p, q) i (s, t) są w tej samej klasie jeśli pt = sq. Zauważ że pt = sq znaczy po prostu p/q = s/t. Tutaj tak samo, definiujemy x ≡ y (mod n) jeśli x i y dają te same reszty z dzielenia przez n. W ten sposób dzielimy zbiór liczb całkowitych na n klas, każda odpowiadająca reszcie z dzielenia przez n. Można pokazać, że taka relacja jest w pewnym sensie zgodna ze strukturą algebraiczną liczb całkowitych: Jeśli x ≡ y (mod n), z ≡ q (mod n), to x+z ≡ y+q (mod n) oraz xz ≡ yq (mod n). Bardzo często jest to wygodne by zamiast reszt, mówić o przystawaniu modulo n.

Adamm: Ale nie polecam od razu wyskakiwać z modulo w różnych zadankach, czasami to tylko przeszkadza.

mydlix: Pięknie dziękuję za zaangażowanie. Dobranoc. Kolorowych, kongruentnych snów