ciaglosc funkcji Mikolaj: Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć dlaczego jeżeli funkcja jest ciągła w dziedzinie to nie koniecznie jest całkowalna? Wynika to z tego, że ciągłość jest warunkiem wystarczającym do całkowalności funkcji.

ICSP: Jeżeli funkcja jest ciągła to jest całkowalna. Nie każda funkcja całkowalna musi być ciągła (patrz funkcja znaku)

Adamm: Problem w tym że całkowalność ma różne odcienie. 1. Całkowalność w sensie Riemanna: Rozważamy jedynie funkcje ograniczone z niepustego odcinka domkniętego w liczby rzeczywiste. Dokładną definicję powinieneś móc znaleźć w dowolnym podręczniku z analizy. 2. Całkowalność niewłaściwa w sensie Riemanna: Tutaj tak właściwie to precyzyjnej definicji nie znalazłem, chociaż długo nie szukałem. Ale powiedzmy że jakoś tak (trochę tu wymyślam). Powiemy że f:J → R jest całkowalna niewłaściwie w sensie Riemanna, gdzie J to przedział (otwarty, domknięty, półotwarty; skończony lub nieskończony) o końcach a, b gdzie a<b, o takiej własności: Istnieje podział a₀ = a < a₁ < ... < a_n = b odcinka J, taki, że ∫_ai^a_i+1 f(x) dx istnieje w tym sensie, że granica lim_{y → ai⁺, z→ ai+1⁻} ∫_y^z f(x) dx istnieje i jest skończona, gdzie ∫_y^z f(x) dx to oczywiście całka Riemanna z f(x) na [y, z]. Musimy tu oczywiście pilnować żeby ∫_y^z f(x) dx była zdefiniowana gdy y, z są bliskie odpowiednich wartości. Wtedy definiujemy ∫_a^b f(x) dx = ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∫_ai^a_i+1 f(x) dx. 3. Całkowalność nieoznaczona: Jeśli f: [a, b] → R, to istnieje F: (a, b) → R, że F' = f na (a, b). Tutaj oczywiście bierzemy garściami z podstawowego twierdzenia rachunku całkowego. 4. Całkowalność w sensie Lebesgue'a. Jak ktoś chce wiedzieć więcej to odsyłam do podręczników. Jakikolwiek podręcznik z teorii miary powinien zawierać definicję całki Lebesgue'a. Teraz sprawdźmy czy na pewno funkcje ciągłe są całkowalne. Jeśli f: [a, b] → R jest ciągła, to jest całkowalna w sensie 1, 2, 3, 4. Czyli dla funkcji które rozważamy przy całkowalności w sensie 1, jest to prawda. Niech f(x) = 1/x dla x∊(0, 1). Wtedy o całkowalności w sensie 1 i 3 nie ma mowy. Ponieważ lim_y→0⁺ ∫_y¹ f(x) dx = ∞, nie jest również całkowalna w sensie 2, a co za tym idzie, w sensie 4. Podsumowując − tak, funkcja ciągła na odcinku domkniętym jest całkowalna. Jednak biorąc dowolną funkcję ciągłą, nie zawsze będzie ona całkowalna w sensie niewłaściwej całki Riemanna czy całki Lebesgue'a (pozostałe wersje nie biorą nawet takich funkcji pod uwagę).