całka xyzz:

	2+sinx
∫		dx zacząłem robić to podstawieniem uniwersalnym, ma ktoś inny pomysł?
	sinx(1+cosx)

xyz: moze byc podstawienie uniwersalne.

student: pomnóż licznik i mianownik przez sinx, a następnie podstaw za t=cosx

Filip: Czy ktos moze zweryfikowac czy poprzez podstawienie uniwersalne wyszedl taki sam wynik?

	2+sinx		2t   2+   1+t2	2
∫		dx=∫			dt=
	sinx(1+cosx)		2t 2   1+t2 1+t2	1+t2

	2t2+2t+2	(1+t2)2		t2+t+1		1
=∫			dt=∫		dt=∫tdt+∫1dt+∫		dt=
	(1+t2)2	2t		t		t

	1		1		x		x		x
=		t2+t+ln|t|+C=		tg2		+tg		+ln|tg		|+C
	2		2		2		2		2

student: Sprawdź sobie w Wolframie

Mariusz: Można rozbić na dwie całki

	2		sin(x)
∫		dx+∫		dx
	sin(x)(1+cos(x))		sin(x)(1+cos(x))

	2		1
∫		dx+∫		dx
	sin(x)(1+cos(x))		1+cos(x)

	2sin(x)		1−cos(x)
∫		dx+∫		dx
	sin2(x)(1+cos(x))		(1−cos(x))(1+cos(x))

	2sin(x)		1−cos(x)
∫		dx+∫		dx
	(1−cos2(x))(1+cos(x))		sin2(x)

	2sin(x)		1		cos(x)
∫		dx+∫		dx−∫		dx
	(1−cos(x))(1+cos(x))2		sin2(x)		sin2(x)

	2sin(x)		1
∫		dx−ctg(x)+
	(1−cos(x))(1+cos(x))2		sin(x)

	2sin(x)
∫		dx
	(1−cos(x))(1+cos(x))2

t=cos(x) dt=−sin(x)dx

	2
−∫		dt
	(1−t)(1+t)2

A		B		C		2
	+		+		=−
1−t		1+t		(1+t)2		(1−t)(1+t)2

A(1+t)²+B(1−t)(1+t)+C(1−t)=−2 A(1+2t+t²)+B(1−t²)+C(1−t)=−2 A+B+C=−2 2A−C=0 A−B=0 C=2A B=A 4A=−2

	1
A=−
	2

	1
B=−
	2

C=−1

	1	1		1	1		1		2
−			−			+		=−
	2	1−t		2	1+t		(1+t)2		(1−t)(1+t)2

1		1−t		1		2
	ln|		|+		=−∫		dt
2		1+t		1+t		(1−t)(1+t)2

	1		1−cos(x)		1		1
=		ln|		|+		−ctg(x)+		+C
	2		1+cos(x)		1+cos(x)		sin(x)

	1		(1−cos(x))2		1		1
=		ln|		|+		−ctg(x)+		+C
	2		1−cos2(x)		1+cos(x)		sin(x)

	1		(1−cos(x))2		1		1
=		ln|		|+		−ctg(x)+		+C
	2		sin2(x)		1+cos(x)		sin(x)

	1−cos(x)		1		1
=ln|		|+		−ctg(x)+		+C
	sin(x)		1+cos(x)		sin(x)