Równanie wielomianowe (matura rozszerzona 2018 czerwiec) Bart: Wykaż, że równanie x⁸ + x² = 2(x⁴ + x −1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1 . Udowodniłem to równanie w taki sposób, że sprowadziłem wszystko do wielomianu x⁸ − 2x⁴ +x² − 2x +2 =0 a następnie obliczyłem że równanie ma 2 pierwiastki równe 1 oraz dalszą część równania bez rozwiązań więc całość ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste równe 1. Znalazłem też inne rozwiązanie ze sprowadzeniem całości do innej postaci, ale zastanawia mnie czy takie zrobienie tego zadania byłoby zaliczone ?

ICSP: x⁸ − 2x⁴ + x² − 2x + 2 = (x⁴ − 1)² + (x−1)² = W widać, że tylko x = 1 jest rozwiązaniem, a dla x ≠ 1 mamy W > 0 Co do twojej metody: O ile obliczenie dwóch pierwiastków jest proste to po podzieleniu dostajesz równanie stopnia VI. W jaki sposób pokazałeś, że nie ma ono więcej rozwiązań?

Bart: Z pozostałości równania wziąłem pierwszy i ostatni wyraz i sprawdziłem czy jego dzielniki zerują całe wyrażenie (zapomniałem jak dokładnie nazywa się ta metoda). Żaden z nich nie zerował więc oznacza to że nie ma innych rozwiązań i tutaj zakończyłem dowód.

ICSP: Sprawdź tą samą metodą czy równanie: x² − 2 = 0 ma pierwiastki.

6latek: x⁶+2x⁵+3x⁴+4x³+3x²+2x+2 Szukam pierwiastkow calkowitych wsrod dzielnikow wyrazu wolnego W(1)= 1+2+3+4+3+2+2=17 W(−1)=1−2+3−4+3−2+2=1 Kandydaci na pierwiastki α ±1 ±2

(W(1)		(W(−1)
	∊C i		∊C (oba jednoczesnie )
α−1		α+1

α=1

17		1
	odpada		odpada
0		2

α=−1

17		1
	odpada		odpada
−2		0

α=2

17		1
	=17 nalezy		opdada wiec x=2 nie jest pierwiastkiem
1		3

α=−2

17		1
	opdada		=−1 wiec x=−2 nie jest pierwiastkiem
−3		−1

Wiec rownanie posiada tylko jeden pierwiastek rzeczywisty

ICSP: co to za jakaś nowa magiczna metoda?

6latek: Witam Ona nie jest magiczna Jest opisana w ksiazce Nowosiolow . Specjalny wyklad algebry elementarnej

ICSP: Pod jaką nazwą? Może cos znajdę w Internecie to poczytam.

Bart: @ICSP sprawdziłem i nie ma, rozpiszę ci to na przykładzie który podałeś: x²−2=0 2:−1,1,−2,2 (to są dzielniki tej liczby) 1: 1,−1 z powyższych możliwości "robią" się liczby 1,−1,2,−2 W(1) =! 0 W(−1) =! 0 W(2) =! 0 W(−2) =! 0 więc równanie nie ma rozwiązań. Jest to metoda praktycznie identyczna co metoda @6latek

ICSP: x² − 2 = 0 x² = 2 x = √2 v x = −√2 Są to rozwiązania czy nie?

Bart: @6latek czyli ogólnie mój dowód jest jak najbardziej poprawny ?

Qulka: a kto powiedział że to równanie ma mieć pierwiastki całkowite

Bart: @ICSP ale mówimy o całkowitych pierwiastkach wielomianu, tutaj wyjaśnienie https://www.matmana6.pl/pierwiastki-wymierne-wielomianu-o-wspolczynnikach-calkowitych

ICSP: Zacytuję: "ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste x = 1" Sprawdziłeś, że nie ma pierwiastków całkowitych. Moje pytanie: Dlaczego z tego wnioskujesz, że nie ma również niewymiernych?

Bart: @ICSP faktycznie mój błąd, nie było tematu w takim razie

Qulka: x⁸ − 2x⁴ +x² − 2x +2 =0 jak widać zwijasz na (x⁴−1)² +(x−1)²=0 suma kwadratów =0 gdy oba jednocześnie =0 i już masz prosto

Bart: Tak wiem, ale chciałem się dowiedzieć czy mój dowód jest poprawny. Wiem że jest dłuższy itd. ale bardziej chodzi mi o to czy dostałbym za niego punkty na maturze ?

Qulka: wczytaj się w klucz

Bart: Czyli niestety nie, dzięki za pomoc tak czy inaczej

ICSP: W = x⁶+2x⁵+3x⁴+4x³+3x²+2x+2 = x⁶+2x⁵+3x⁴+4x³+3x²+2x+1 + 1

	1		1		1
x6+2x5+3x4+4x3+3x2+2x+1 = x3[(x3 +		) + 2(x2 +		) + 3(x +		) + 4]
	x3		x2		x

	1
t = x +
	x

	1		1		1
x3 +		= (x +		)3 − 3(x +		) = t3 − 3t
	x3		x		x

	1		1
x2 +		= (x +		)2 − 2 = t2 − 2
	x2		x

	1		1		1
[(x3 +		) + 2(x2 +		) + 3(x +		) + 4] =
	x3		x2		x

t³ − 3t + 2t² − 4 + 3t + 4 =

	1		1
= t3 + 2t2 = t2(t + 2) = (x +		)2(x +		+ 2)
	x		x

	1		1
x3(x +		)2(x +		+ 2) = (x2 + 1)2(x+1)2
	x		x

W = (x² + 1)²(x+1)² + 1 ≥ 1 > 0 Więc więcej rozwiązań nie ma.

ICSP: Jednak radzę zostać przy 16:37 lub 17:32.

Bart: Rozumiem, dzięki raz jeszcze

6latek: Tak . Znalazlem tylko calkowite (przepraszam ) ICSP zrobilem Ci skany z ksiazki https://zapodaj.net/055c2a8a0d8ce.jpg.html https://zapodaj.net/b246541606d44.jpg.html https://zapodaj.net/3c865709b9bc5.jpg.html https://zapodaj.net/177d6ba0e4f43.jpg.html https://zapodaj.net/921ba9c4bfc45.jpg.html Nie wiem czy sie przydadza Tobie (ale Ty mi tez pomagasz )