zad student: Jak policzyć taką całkę: ∫√tgxdx

Jerzy: Podstaw: t = √tgx

Mariusz: Na youtubach jest kilka sposobów

Mariusz: ∫√tgxdx t=√tgx t²=tgx x=arctg(t²)

	2t
dx=		dt
	1+t4

	2t2
∫		dt
	1+t4

	2t2
∫		dt
	1+2t2+t4−2t2

	2t2
∫		dt
	(1+t2)2−2t2

	2t2
∫		dt
	(1+√2t+t2)(1−√2t+t2)

Teraz nie trzeba rozkładać na sumę ułamków prostych Wystarczy zauważyć że (1+√2t+t²)−(1−√2t+t²)=2√2t Zatem

	2t2
∫		dt=
	(1+√2t+t2)(1−√2t+t2)

1		t(1+√2t+t2)−t(1−√2t+t2)
	∫		dt
√2		(1+√2t+t2)(1−√2t+t2)

	1		t		1		t
=		∫		dt−		∫		dt
	√2		1−√2t+t2		√2		1+√2t+t2

I teraz w każdej z całek sprowadzenie mianownika do postaci kanonicznej

student: Nie rozumiem Mariusz, co teraz trzeba zrobić

Mariusz: Sprowadzasz trójmian kwadratowy w mianowniku do postaci kanonicznej

1		t
	∫		dt
√2		t2−√2t+1

1		t
	∫		dt
√2		√2   1   (t− )2+   2   2

Teraz kolejne podstawienie

	√2		1
t−		=		u
	2		√2

	1
dt=		du
	√2

1		√2   √2   u+ 2   2
	∫		du
2		1   1   u2+ 2   2

√2		u+1
	∫		du
2		u2+1

√2		2u		√2		1
	∫		du+		∫		+C
4		u2+1		2		u2+1

	√2		√2
=		ln|u2+1|+		arctg(u)
	4		2

	√2		√2
=		ln|t2−√2t+1|+		arctg(√2t−1)+C
	4		2

Analogicznie drugą całkę Spróbuj już policzyć ją samemu

Damian#UDM: Postać kanoniczną funkcji kwadratowej f wyraża się wzorem: f(x) = a(x − p)² + q f(t) = t² − √2t + 1

	√2
p =
	2

	1
q = −
	2

	√2		1
f(t) = 1(t −		)2 −
	2		2

Chodzi pewnie o skorzystanie ze wzoru na arctg lub logarytm naturalny

Damian#UDM: Mariusz zdążył mnie wyprzedzić i wszystko o wiele lepiej wytłumaczyć

Mariusz:

	1
Damian czy aby na pewno q=−		?
	2