funkcje Kuba152: Wiadomo, że funkcja f spełnia warunek f(sin x) + f(cos x) = 1, dla x należącego do R. Funkcja f może być postaci: a) f(x) = 2x + cos x b) f(x) = x³ − 1 c) f(x) = 2x² + 1 d) f(x) = ax², dla pewnego a należącego do R

ICSP: d) Dla a = 1 Wystarczy podstawiać i eliminować kolejne podpunkty.

Kuba152: @ICSP Dziękuję Ci bardzo!

Adamm: f(sinx)+f(cosx) = 1 Niech f: [−1, 1] → R. podstawiając y = π−x f(sinx)+f(−cosx) = 1 Zatem f(−cosx) = f(cosx) więc f jest parzysta. Łatwo teraz zauważyć, że równoważnie możemy rozważyć równianie f(sinx)+f(cosx) = 1 dla x z [0, π/2] Lub jeszcze bardziej, dla x z [0, π/4]. Zdefiniujmy f(y) dla y z (0, 1/2) dowolnie, f(1/2) = 1/2, f(0) = 0. Na [1/2, 1] zdefiniujmy f dzięki równaniu f(cosx) = 1−f(sinx). Ostatecznie weźmy f(x) = f(−x) dla x z [−1, 0]. Wtedy f(cosx)+f(sinx) = 1, i każde rozwiązanie powstaje w ten sam sposób. Jedynie c, d są parzyste, i f(0) = 0, f(1) = 1−f(0) = 1 jedynie dla d) z a = 1.

Adamm: Może warto wspomnieć że f(cosx) = 1−f(sinx) dla x z [0, π/4] da się zapisać jako f(x) = 1−f(√1−x²) dla x z [√2/2, 1].

Adamm: Zdefiniujmy f(y) dla y z (0, √2/2) dowolnie, f(√2/2) = 1/2, f(0) = 0.