calki Filip: Witam, takie calki mam nierozwiazane 1) ∫cos⁶(3x)dx 2) ∫sinxsin(2x)sin(3x)dx

	3x − 6
3) ∫		dx
	√x2 − 4x + 5

Saizou : 3) Podpowiedź x²−4x+5 = (x−2)²+1 i podstawienie x−2=t

Saizou : 2) sinxsin(2x)sin(3x) = sinx*2sinxcosx*(3sinx−4sin³x) = 6sinx³cosx − 8sin⁵xcosx Podstaw sinx = t

ICSP: no i jeszcze pierwsza

ICSP: zespolonych nie miał.

Saizou : Całka rekurencyjna, przez części

Maciess: Pierwsza najpierw przejsc sobie na 3x=t Wtedy cos⁶t rozwinać.

	zn+z−n
cos t=
	2

Podnieść do 6 i posprzątać

Maciess: w tym wypadku n=1

ICSP: lub bardziej upierdliwie wzorem :

	1 + cos(2x)
cos2(x) =
	2

Saizou : albo tak cos⁶t = cost*(cos²t)² = cost(1−sin²t)² I podstawić sint = s

Jerzy: a*(a²)² = a⁵ ≠ a⁶

Filip: 3)

	x − 2
3∫		dx
	√(x − 2)2 + 1

t = x − 2 dt = dx

	x − 2		t
∫		dx =3∫		dt
	√(x − 2)2 + 1		√t2 + 1

Probowalem jakos tak:

	t		dt
∫		dt = A√t2 + 1 + K∫
	√t2 + 1		√t2 + 1

t = A2t + K K = 0

	1
A =
	2

	t		1
∫		dt =		√t2 + 1
	√t2 + 1		2

	x − 2		3
3∫		dx =		√(x − 2)2 + 1
	√(x − 2)2 + 1		2

	3
Hmm, tyle ze w wyniku zamiast		jest 3
	2

Saizou : Jasne, że nie. Ubzdurałem sobie, że liczymy cos⁵x

Jerzy: Pomyłki się zdarzają

Filip: Drugie mi wyszlo tak: ∫6sin³xcosx − 8sin⁵xcosxdx t = sinx; dt = dxcosx;

	6		8		6sin4x		8sin6x
∫6t3dt − ∫8t5dt =		t4 −		t6 =		−
	4		6		4		6

Jednak w odpowiedziach mam chyba same cosinusy

Mariusz:

	3x−6
∫		dx
	√x2−4x+5

√x²−4x+5=t−x x²−4x+5=t²−2tx+x² −4x+5=t²−2tx 2tx−4x=t²−5 x(2t−4)=t²−5

	t2−5
x=
	2t−4

	2t(2t−4)−2(t2−5)
dx=		dt
	(2t−4)2

	2t2−8t+10
dx=		dt
	(2t−4)2

	t2−5
√x2−4x+5=t−
	2t−4

	t2−4t+5
√x2−4x+5=
	2t−4

	3t2−15−6(2t−4)		3t2−12t+9
3x−6=		=
	(2t−4)		(2t−4)

	3t2−12t+9	2t−4	2(t2−4t+5)
∫				dt
	2t−4	t2−4t+5	(2t−4)2

1		3t2−12t+9
	∫		dt
2		(t−2)2

1		3(t2−4t+4)−3
	∫		dt
2		(t−2)2

3		3		1
	∫dt−		∫		dt
2		2		(t−2)2

3		3	1
	(t−2)+			+C
2		2	t−2

3	(t−2)2+1
		+C
2	t−2

	t2−4t+5
3		+C
	2t−4

=3√x²−4x+5+C ∫cos⁶(3x)dx ∫cosⁿxdx=∫cosxcosⁿ⁻¹xdx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x−(n−1)∫(sinx)cosⁿ⁻²x(−sinx)dx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xsin²xdx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²x(1−cos²x)dx ∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xdx−(n−1)∫cosⁿxdx n∫cosⁿxdx=sinxcosⁿ⁻¹x+(n−1)∫cosⁿ⁻²xdx

	1		n−1
∫cosnxdx=		sinxcosn−1x+		∫cosn−2xdx
	n		n

	1		5
∫cos6tdt=		sintcos5t+		∫cos4tdt
	6		6

	1		5		1		3
∫cos6tdt=		sintcos5t+		(		sintcos3t+		∫cos2tdt)
	6		6		4		4

	1		5		5
∫cos6tdt=		sintcos5t+		sintcos3t+		∫cos2tdt
	6		24		8

	1		5		5		1		1
∫cos6tdt=		sintcos5t+		sintcos3t+		(		sintcost+		∫dt)
	6		24		8		2		2

	1		5		5		5
∫cos6tdt=		sintcos5t+		sintcos3t+		sintcost+		t+C
	6		24		16		16

	1		5		5
∫cos63xdt=		sin(3x)cos5(3x)+		sin(3x)cos3(3x)+		sin(3x)cos(3x)
	18		72		48

	5
+		x+C
	16

∫sinxsin(2x)sin(3x)dx cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ 2sinαsinβ=cos(α−β)−cos(α+β)

1
	∫sinx(cosx−cos5x)dx
2

1		1
	∫sinxcosx−		∫cosxcos5xdx
2		2

	1		1
=		sin2x−		∫cosxcos5xdx
	4		2

∫cosxcos5xdx=sinxcos5x+5∫sinxsin5xdx ∫cosxcos5xdx=sinxcos5x+5(−cosxsin5x−∫(−cosx)5cos5xdx) ∫cosxcos5xdx=sinxcos5x+5(−cosxsin5x+5∫cosxcos5xdx) ∫cosxcos5xdx=sinxcos5x−5cosxsin5x+25∫cosxcos5xdx −24∫cosxcos5xdx=sinxcos5x−5cosxsin5x+C₁

	1		5
∫cosxcos5xdx=−		sinxcos5x+		cosxsin5x+C
	24		24

	1		1		5
=		sin2x+		sinxcos5x−		cosxsin5x+C
	4		48		48

Mila:

	1+cos(6x)
cos6(3x)=[(cos2(3x))2]3=(		)3=
	2

	1
=		*[1+3cos(6x)+3*cos2(6x)+cos3(6x)]
	8

	1
1) ∫cos6(3x)dx=		*∫ (1+3cos(6x)+3*cos2(6x)+cos3(6x) ) dx=
	8

to już masz proste całki

jc: z = e^ix

	1		1
(cos x)6 =		(z+1/z)6 =		(cos 6x + 6cos 4x + 15 cos 2x + 10)
	64		32

	1		1		2		15
∫(cos x)6 dx =		(		sin 6x +		sin 4x +		sin 2x + 10x)
	32		6		3		2

Filip: a zweryfikuje ktos calke ∫sinxsin2xsin3xdx?

jc: Stosujemy wzory sin a sin b = [cos(a−b) − cos(a+b)]/2 sin a cos b = [sin(a+b) + sin(a−b)]/2 sin x sin 2x = [cos x − cos 3x] /2 sin x sin 2x sin 3x = [sin 3x cos x − sin 3x cos 3x]/2 = = [sin 4x + sin 2x − sin 6x]/4 Sprawdź i całkuj.

Nikifor: Słusznie pisze jc. Sam próbuj, bo inaaczej niczego się nie nauczysz.

Filip: Napisalam o 11:28 rozwiazanie

Damian#UDM: Przy 3) zauważyłem coś takiego: Jak mamy taką funkcję f(x) = √x² − 4x + 5 to pochodna

	2x − 4		x − 2
f'(x) =		=
	2*√x2 − 4x + 5		√x2 − 4x + 5

Czyli jak z takiego wyrażenia liczymy całkę to może pójść bardzo sprawnie

	3x − 6		x − 2
∫		dx = 3∫		dx = 3√x2 − 4x + 5 + C
	√x2 − 4x + 5		√x2 − 4x + 5

Damian#UDM: ∫cos⁶(3x)dx = m

	1
cos2(3x) =		(cos(6x) + 1)
	2

	1		1
cos6(3x) =		(cos(6x) + 1)3 =		(cos3(6x) + 3cos2(6x) + 3cos(6x) + 1)
	8		8

	1		3
cos2(6x) =		(cos(12x) + 1) → 3cos2(6x) =		(cos(12x) + 1)
	2		2

	1		3		3		3		1
m = ∫(		cos3(6x) +		cos(12x) +		+		cos(6x) +		)dx
	8		16		16		8		8

A cos³(6x) jak rozpisać ?

Filip: Hmm, moze tak ∫cos³(6x)dx = ∫cos(6x)(1 − sin²(6x))dx t = sin(6x) dt = 6cos(6x)dx

1
	∫(1 − t2)dt
6

Mila: Dobrze Filip, 21:20, dokończ.

Damian#UDM: Super, dziękuję za pomoc

Filip: t = sin(6x)

1		1		1		1		1
	∫(1−t2)dt=		(t−		t3=		sin(6x)−		sin3(6x)+c
6		6		3		6		18

Damian#UDM:

	sin(6x)		sin3(6x)		sin(12x)		5x
m =		−		+		+		+ C
	12		144		64		16