calki Filip: Witam, jak podejsc do tej calki? ∫sin²xcos³dx

Filip: ∫sin²xcos³xdx

HGH: hmm moze sinx = t?

ICSP: cos³x = (1 − sin²(x))*cosx t = sinx

Jerzy: = ∫sin^x(1 − sin²x)cosxdx i podstawiasz: sinx = t

Jerzy: * tam miało być sin²x

Filip: Dzieki, a jak zaczac taka calke?

	lnxdx
∫
	x√1 − 4lnx − ln2x

Maciess: t=lnx

Filip: t = lnx dx = xdt

	tdt		dt
∫		= A√1 − 4t − t2 + K∫
	√1 − 4t − t2		√1 − 4t − t2

Rozniczkuje obie strony powyzszej rownosci

t		−4 − 2t		1
	= A		+ K
√1 − 4t − t2		2√1 − 4t − t2		√1 − 4t − t2

t = −At + K − 2A ⇒ K = −2, A = −1 I jak rozumiem podstawiam to do wyjsciowego rownania

	tdt		dt
∫		= −√1 − 4t − t2 − 2∫
	√1 − 4t − t2		√1 − 4t − t2

I teraz co zrobic z ta calka?

	dt
∫
	√1 − 4t − t2

Mariusz: Dla fanów podstawień Eulera √1−4lnx−ln²x=tlnx − 1 1−4lnx−ln²x=t²ln²x − 2tlnx +1 −4lnx−ln²x=t²ln²x − 2tlnx −4lnx−ln²x−t²ln²x + 2tlnx=0 lnx (−4−lnx−t²lnx+2t)=0 Z czynnika lnx = 0 dostalibyśmy że x = 1 więc on nas nie interesuje −4−lnx−t²lnx+2t=0 2t−4=lnx+t²lnx 2t−4=lnx(1+t²)

	2t−4
lnx=
	1+t2

dx		2(1+t2)−2t(2t−4)
	=		dt
x		(1+t2)2

dx		−2t2+8t+2
	=		dt
x		(1+t2)2

	2t2−4t
√1−4lnx−ln2x=		−1
	1+t2

	2t2−4t−1−t2
√1−4lnx−ln2x=
	1+t2

	t2−4t−1
√1−4lnx−ln2x=
	1+t2

	2t−4	1+t2	−2(t2−4t−1)
∫				dt
	1+t2	t2−4t−1	(1+t2)2

	2t−4
−2∫		dt
	(t2+1)2

	4t2+2t−4−4t2
−2(∫		dt)=
	(t2+1)2

	−4		2t(2t+1)
−2(∫		dt+∫		dt)
	1+t2		(t2+1)2

	−4		2t+1		2
−2(∫		dt−		+∫		dt)=
	1+t2		t2+1		t2+1

	2t+1		2
−2(−		−∫		dt)
	t2+1		t2+1

	2t+1
2(		+2arctg(t))+C
	t2+1

	t2−4t−1
√1−4lnx−ln2x=
	1+t2

	t2+1−4t−2
√1−4lnx−ln2x=
	1+t2

	4t+2
√1−4lnx−ln2x=1−
	t2+1

4t+2
	=1−√1−4lnx−ln2x
t2+1

	√1−4lnx−ln2x+1
=1−√1−4lnx−ln2x+4arctg(		)+C1
	lnx

	√1−4lnx−ln2x+1
=−√1−4lnx−ln2x+4arctg(		)
	lnx

Mariusz: Filip sprowadź trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w swojej całce do postaci kanonicznej a będziesz wiedział co zrobić dalej

Mila: 1−4t−t²=−(t²+4t−1)=−[(t+2)²−5]=5−(t+2)²

	1		1
=∫		dt=∫		dt=..
	√1−4t−t2		√5−(t+2)2

[t+2=√5u , dt=√5du ]

	1		1		t+2
..=√5 ∫		du=∫		du =arcsin(u)=arcsin(		)=
	√5−5u2		√1−u2		√5

działaj dalej