Odległość dwóch prostych Skośnych Samilin: Oblicz d(l1,l2) Prostych skosnych O podanych równaniach L1: 2x−y+2=1 −x+2y−2x=−1 L2: −3x+y+2z=2 4x−y+z=0 To sa układy równan.

Mila: Czy prosta l1 dobrze zapisana?

Samilin: Tak. Taka dostalismy od profesora.

Samilin: L1

⎧	2x−y+2=1
⎩	−x+2y−2z=−1

L2

⎧	−3x+y+2z=2
⎩	4x−y+2=0

Dokladnie tak to wyglada.

Mila: 1) L1: 2x−y+z=1 −x+2y−2z=−1 równanie parametryczne prostej L1: z=t, t∊R 2x−y=1−t −x+2y=−1+2t ======= stąd L1:

	1
x=		+0t
	3

	1
y=−		+t
	3

z=0+t

	1		1
k1→=[0,1,1] −wektor kierunkowy prostej L1, Punkt A=(		,−		,0)∊L1
	3		3

2) L2: −3x+y+2z=2 4x−y+z=0 z=s, s∊R −3x+y=2−2s 4x−y=−s L2: x=2−3s y=8−11s z=0+s k2^→=[−3,−11,1]−wektor kierunkowy prostej L2, punkt B=(2,8,0)∊L2 3) Sprawdzamy , czy proste są skośne

	1		1		5		25
AB→=[2−		,8+		,0]=[		,		,0]
	3		3		3		3

W: wartość iloczynu mieszanego: 0 1 1 −3 −11 1 5/3 25/3 0 Det=−5≠0 ⇔proste są skośne

	|(k1→,k2→,AB→)|
d(L1,L2)=		=
	|k1→ x k2→|

	|−5|		5		5		5√2
=		=		=		=
	|12i−3j+3k|		√122+9+9		9√2		18

=============================== Posprawdzaj obliczenia, nie wiem, czy to takie proste jak odczytałam z tych Twoich różnych zapisów.

Samilin: Mam pytanie. Skad te wartosci S y=8−11s Mam na mysli −3 −11 i 1 ?

Samilin: Nieakutalnie pytanie. Juz wiem ze z mnozenie wektorow. Dzieki Wielkie!

Samilin: A czy k1 nie powinno byc rowne [0,3,3] ?

Mila: 1) Rozwiązanie układu równań: −3x+y+2z=2 4x−y+z=0 z=s, s∊R przyjęto z jako parametr −3x+y=2−2s 4x−y=−s ====== dodaję stronami x=2−3s −3*(2−3s)+y=2−2s⇔−6+9s+y=2−2s y=8−11s równanie parametryczne L2: x=2−3s y=8−11s z=0+s k₂^→=[−2,−11,1] ============ 2) Jesli iloczyn iloczyn wektorowy [−3,1,2] x [4,−1,1]=[3,11,−1] ale [3,11,−1] || [−3, −11,1] i teraz szukasz punktu spełniającego obydwa równania −3x+y+2z=2 4x−y+z=0 w sposobie podanym wcześniej już otrzymujesz taki punkt B=(2,8,0) −3*2+8=2 4*2−8=0 2) [0,3,3] || [0,1,1] więc wszystko się zgadza.

	5		25
Policz teraz iloczyn mieszany z wektorami: [		,		,0], [ 0,3,3], [−3,−11,0]
	3		3

a potem odległość prostych.