Rozwiąż równanie rekurencyjne z danymi warunkami początkowymi Mirek: Rozwiąż równanie rekurencyjne z danymi warunkami początkowymi f₀=2, f₁=−1, f_n+2=−f_n+1+6f_n dla n>=2.

kerajs: f_n=(−3)ⁿ+2ⁿ

Mila: 1) równanie charakterystyczne: x²+x−6=0 Δ=25 x₁=−3 lub x₂=2 f_n=A*(−3)ⁿ+B*2ⁿ 2) f₀=A+B=2 f₁=A*(−3)+2B=−1 stąd A=1 i B=1 3) f(n)=(−3)ⁿ+2ⁿ

Mariusz: F(x)=∑_n=0^∞f_nxⁿ ∑_n=2^∞f_nxⁿ=∑_n=2^∞(−f_n−1)xⁿ+∑_n=2^∞6f_n−2xⁿ ∑_n=2^∞f_nxⁿ=−x(∑_n=2^∞(f_n−1)xⁿ⁻¹)+6x²∑_n=2^∞f_n−2xⁿ⁻² ∑_n=2^∞f_nxⁿ=−x(∑_n=1^∞(f_n)xⁿ)+6x²∑_n=0^∞f_nxⁿ ∑_n=0^∞f_nxⁿ−2+x=−x(∑_n=0^∞(f_n)xⁿ−2)+6x²∑_n=0^∞f_nxⁿ F(x)+xF(x)−6x²F(x)=2−x+2x (1+x−6x²)F(x)=x+2

	x+2
F(x)=
	1+x−6x2

	x+2
F(x)=
	(1+3x)(1−2x)

	A		B
F(x)=		+
	1+3x		1−2x

A(1−2x)+B(1+3x)=x+2 A+B=2 −2A+3B=1 2A+2B=4 −2A+3B=1 5B=5 B=1 A+1=2 A=1

	1		1
F(x)=		+
	1+3x		1−2x

F(x)=∑_n=0^∞(−3)ⁿxⁿ+∑_n=0^∞2ⁿxⁿ F(x)=∑_n=0^∞((−3)ⁿ+2ⁿ)xⁿ f_n=(−3)ⁿ+2ⁿ