Układ równań z parametrem - sprawdzenie rozwiązania Shizzer: Znaleźć wszystkie takie wartości parametru β ∈ R, że układ równań

⎧	x + 4y − 2z = 0
⎨	3x + 5y − βz = 0
⎩	βx + 3βy + z = 0

(o niewiadomych x, y, z ∈ R) ma rozwiązania niezerowe. Moje rozwiązanie na podstawie tw. Cramera: Założenia: 1. W ≠ 0 2. Gdy W > 0, to W_x, W_y, W_z > 0 Gdy W < 0, to W_x, W_y, W_z < 0 W = 5 − 18β − 4β² + 10β + 3β² − 12 = −β² − 8β − 7 −β² − 8β − 7 ≠ 0 ⇔ β² + 8β + 7 ≠ 0 β² + 8β + 7 > 0, dla β ∊ (−∞, −7) ∪ (1, +∞) ⇔ W > 0, dla β ∊ (−∞, −7) ∪ (1, +∞) β² + 8β + 7 < 0, dla β ∊ (7, 1) ⇔ W < 0, dla β ∊ (−7, −1) W = 0, dla β ∊ {−7, −1} W_x = 0, W_y = 0, W_z = 0 ⇒ Jedyne rozwiązanie danego układu równań to: x = 0, y = 0, z = 0 gdy β ∊ (−∞, −7) ∪ (−7, −1) ∪ (1, +∞). Gdy β ∊ {−7, −1} układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. I teraz jaka jest właściwa odpowiedź do tego zadania? Gdy β ∊ {−7, −1} to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, a skoro tak to ma również rozwiązania niezerowe dla tych wartości parametru?

Shizzer: Założenia powinny być takie: 1. W ≠ 0 2. W_x, W_y, W_z ≠ 0 Tam u góry zrobiłem założenia błędne − tak jakbym chciał wyznaczyć tylko dla jakiego parametru β układ równań miałby dodatnie rozwiązania, a mają być przecież rozwiązania nieujemne. Z tym, że niezależnie od parametru β W_x, W_y, W_z są równe 0. Więc moje pytanie jest takie − czy jeśli wyznacznik główny W = 0 w takiej sytuacji to układ ma rozwiązania niezerowe?

znak: Takie założenia również są błędne. Układ jednorodny ma rozwiązanie nie zerowe wtedy, gdy wyznacznik jest równy 0 oraz jest niesprzeczny. Takie warunki dają nam: W = W_x = W_y = W_z = 0. I to jest dokładnie to, czego szukamy. Dobrze określiłeś wartości, dla których wyznacznik jest równy 0, więc patrz: Weźmy β = −1, macierz główna układu wygląda wówczas tak: 1 4 − 2 3 5 1 −1 − 3 1 A macierz schodkowa wygląda tak: 1 4 − 2 0 7 − 7 0 0 0 I to nam daje układ dwóch równań: x + 4y − 2z = 0 7y − 7z = 0 Z drugiego równania mamy y = z, więc podstawiając do pierwszego otrzymujemy x + 4z − 2z = 0 x = −2z Więc nasze rozwiązania są postaci z[−2, 1, 1], gdzie z ∊ R. I faktycznie, weźmy sobie z = 2. −4 + 4*2 − 2*2 = 0 3*(−4) + 5*2 + 1*(2) = 0 −1*(−4) − 3*(2) + 1*(2) = 0 −4 + 8 − 4 = 0 −12 + 10 + 2 = 0 4 + − 6 + 2 = 0 I jak widzimy, wszystko gra. Oczywiście całe to pokazywanie jest zbędne, do rozwiązania zadania wystarczy tylko wyznaczyć wartości niewiadomej, dla którego zajdą warunki, ale dzięki temu uzyskasz mały podgląd tego, co nam to daje.

Shizzer: Trochę tego nie rozumiem. Przecież rozwiązania niezerowe to takie, dla których wszystkie wartości niewiadomych są różne od 0. Tzn. gdyby założenie wyglądało w ten sposób: 1. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie niezerowe: − W ≠ 0 − W_x, W_y, W_z ≠ 0 Stwierdziłeś, że jest to założenie błędne. Ale dlaczego? Nie jest tak, że gdyby każdy z wyznaczników W_x, W_y, W_z był różny od 0 i wyznacznik główny W był różny od 0 to powstałoby rozwiązanie niezerowe?

Shizzer: Aaa już rozumiem! Układ jednorodny to taki, w którym wyrazy wolne są zerami. Skoro wyrazy wolne są zerami to wyznaczniki niewiadomych takiego układu są równe 0. W takim wypadku układ może mieć albo zerowe rozwiązanie, albo nieskończenie wiele rozwiązań, albo nie mieć rozwiązań wcale. Z tego wynika, że niezerowe rozwiązania uzyskamy wtedy i tylko wtedy gdy układ będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań. Dzięki za pomoc znak!

znak: Dokładnie tak Gdy W, W_x, W_y oraz W_z są różne od 0, to owszem, istnieje jedno jedyne rozwiązanie, ale dla układu jednorodnego będzie to rozwiązanie zerowe.