Zadanie Cauchy'ego Karolek: Witajcie, czy ktoś móglby mi w tym pomóc? Bo jestem trochę ciemny w tym Do rozwiązania mam zadaie Cauchy'ego:

⎧	x'= 1t x + √t2
⎩	x(1)=2

Jerzy:

	1		√t
x' −		=
	t		2

To równanie liniowe niejednoredne. Zastosujemy metodę uzmienniania stałej Wg teorii szukana funkcja x(t) ma postać x = C*e^∫1/tdt = C*e^lnt = Ct Uzmienniamy stałą: x = C(t)*t x' = C'(t)*t + C(t) Wstawiamy do równania wyjściowego:

	1		√t
C'(t)*t + C(t) −		*C(t)*t =
	t		2

	√t
C'(t)*t =
	2

	√t		1
C'(t) =		=		t−1/2
	2t		2

	1
C(t) =		∫t−1/2dt = √t + A
	2

Zatem szukana fenkcja to : x = C(t)*t = √t*t = t^3/2 + A Z warunku brzegowego: x(1) = 2 mamy : 1^3/2 + A = 2 i stąd A = 1 Rozwiązanie: x(t) = √t³ + 1

Jerzy: PS. To nie "zadanie Cauchy'ego" , tylko " zagadnienie Cauchy'ego"

Jerzy:

	1		√t
No i w pierwszej linijce 11:22 miało być: x' −		*x =
	t		2

Jerzy: I dla formalności trzecia linijka: x(t) = C*e^{−∫(−1/t)dt} = C*e^lnt = C*t

Karolek: A nie podstawiamy już na koniec, że x(t)=t* √t +Ct? Nie zapomniałeś o Ct? Czy już tego się nie dodaje?

Karolek: I wtedy chyba wyjdzie z(1)=2 −−> C=2? x(t)=t* √t +2t czy się mylę?

Jerzy: Weź kolego podstaw moje rozwiązanie do równania wyjściowego i będziesz miał odpowiedź.

Karolek: Okej, dzięki wielkie za pomoc. Myślałem, po prostu że tam się jeszcze to podstawia ale okej