Zadanie z ekstremum funkcji uwikłanej Lukasz: Hej, mam zadanko na punkty i chciałbym żeby ktoś bardziej ogarnięty niż ja, sprawdził czy dobrze (szczególnie że robie takie zadanie 1 raz ) "wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej" x³+y³−6xy=0 F'x = 3x²−6y F'y = 3y²−6x uklad równań: 3x²−6y=0 −6x+3y²=0 3x²=6y ⇒ y=1/2x² 6x=3y² x=1/2 * 1/4x⁴ x=1/8x⁴ 8x=x⁴ Zakładam, że x≠0 x³=8 x=2 ⇒ y=2 Dla x=0 y=0 Czyli 2 punkty podejrzane o ekstrema. P1(2,2) , P2(0,0) liczę pochodne drugiego stopnia: 1. Dla F'x F'x=3x²−6y F''x = 6x F''y = −6 2. Dla F'y F'y=3y²−6x F''x=−6 F''y=6y Macierz hesjanów wygląda tak: 6x −6 −6 6y H1(p1) ⇒ H1(2,2) 12 −6 −6 12 H1=12 H2=108 (wyznacznik macierzy) Oba są dodatnie więc jest to minimum funkcji Teraz dla H1(P2) ⇒ H1(0,0) 0 −6 −6 0 H1=0 H2=−36 Jeśli jedno jest 0 to jest to przypadek nieokreślony i nie wiemy czy jest tam ekstremum. Odp. Minimum funkcji w punkcie P1(2,2) Pozdrawiam, i czekam na ewentualne poprawki lub potwierdzenie że dobrze to zrobiłem

Lukasz: Ktoś pomoże ? Proszę ☹️

ABC: Chłopie wygogluj sobie "liść Kartezjusza" i zobacz gdzie powinny być ekstrema

ABC: tu masz około 20 strony zrobiony podobny przykład https://www.ujk.edu.pl/strony/Wojciech.Broniowski/AMcz4-1011.pdf

Lukasz: Zrobiłem tak jak było na prezentacji i nie wiem czy dobrze to jest zrobione: Fy=3y²−6x≠0 y²≠2x y⁶+8y³−24y³≠0 y≠0 v y≠³√16 x≠0 v x≠1/2³√256 (x,y)≠(0,0) ⋀ (x,y)≠(1/2³√256,³√16) y'=3x²−6y / 3y²−6x y'=0 ⇔ 3x²=6y x²=2y ⇒ x³+1/8x⁶−3x³=0 ⇒ x³(x³−16)=0 ⇔ x=0 (poza dziedzina) v x=³√16 y=1/2x² Czyli x0=³√16 ⇒ y0=1/2³√256 Fxx=6x Fxy=−6 Fyy=6y y''=...=184/1900 > 0 Jest ktoś w stanie mi to sprawdzić ? Pozdrawiam i z góry dziękuję.