Wykaż że dls dowolnych liczb a i b bambus: Wylaż że dla dowolnych liczb a i b zachodzi nierownosca²+ab+b²≥3(a+b−1)

Filip: Potraktuj jako funkcja kwadratowa z parametrem a² + ab + b² − 3a − 3b + 3 >= 0 a² + (b − 3)a + b² −3b + 3 >= 0 I teraz Δ <= 0 Δ = b² −6b + 9 − 4b² + 12b − 12 <= 0 −3b² + 6b − 3 <= 0 b² − 2b + 1 >= 0 (b − 1)² >= 0

Saizou : Metoda PW (przynajmniej ja ją zobaczyłem u niego) Niech b = ak dla pewnego k ∊ R, wówczas nasza nierówność wygląda następująco a²+a²k+a²k² ≥ 3(a+ak−1) Przekształcamy ją równoważnie a²+a²k+a²k² −3a−3ak+3 ≥ 0 (1+k+k²)a²+(−3k−3)a+3 ≥ 0 Rozpatrujemy funkcję f(a) = (1+k+k²)a²+(−3k−3)a+3 Zauważmy, że 1+k+k² jest zawsze dodatnie dla każdego k, ponieważ

	1		3
1+k+k2 = (k+		)2+		, zatem f jest funkcją kwadratową
	2		4

Δ = (−3k−3)² −4(1+k+k²)*3 = = 9k²+18k+9 −12−12k−12k² = −3k²+6k−3 =−3(k²−2k+1)=−3(k−1)³ ≤ 0 Równość zachodzi dla k = 1. Wobec tego f przyjmuje wartości z zakresu [0: +∞), stąd mamy: (1+k+k²)a²+(−3k−3)a+3 ≥ 0 co kończy dowód

bambus: bardziej mi chodzilo zeby zapisac jako sume badz roznice wzorow skroconego mnozenia doszedłem do postaci(a−1)²+b(−1)²+ab−a−b+1≥0 I nie wiem jak to ab−a−b+1zamienic w jakis wzór skroconego mnozenia

Filip: (a−1)(b−1)

bambus: a jak potem uzasadnić że (a−1)²+b(−1)²+(a−1)(b−1)≥0

Filip: Jak to mawial moj fizyk po zadaniu mu pytania − bog raczy wiedziec

Saizou : Inne podejście a² + ab + b² − 3a − 3b + 3 = a²+(b−3)a−3b+3 =

	1		1
(a2 +		(b−3))2 −		(b−3)2 + b2 − 3b + 3 =
	2		4

	1		1		3		9
(a2 +		(b−3))2 −		b2 +		b −		+ b2 − 3b + 3 =
	2		4		2		4

	1		3		3		3
(a2 +		(b−3))2 +		b2 −		b +		=
	2		4		2		4

	1		√3		√3
(a2 +		(b−3))2 + (		b +		)2 ≥ 0
	2		2		2

suma kwadratów jest nieujemna

Eta: Można też tak: a²+ab+b²−3a−3b+3≥0 /*2 a²−2a+1+b²−2b+1 +a²+b²+2ab−4a−4b+4≥0 (a−1)²+(b−1)²+(a+b−2)²≥0 suma kwadratów nieujemna zaś równość zachodzi dla a=b=1