udowodnij indukcyjnie masticgum: Udowodnić indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnejkprawdziwa jest równość

1		1		1		k
	+		+...+		=
1*3		3*5		(2k−1)(2k+1)		2k+1

Filip:

	1
L = ∑k=1n
	(2k−1)(2k+1)

	k
P =
	2k+1

1) Podstawa indukcyjna P(1)

	1		1		1		1
∑11		=		⇔		=		⇔ L = P
	(2−1)(2+1)		2+1		3		3

2) Krok indukcyjny P(k − 1) ⇒ P(k)

	1		1		(k−1)(2k+1)+1
∑k=1k−1		+		=		=
	(2k−1)(2k+1)		(2k−1)(2k+1)		(2k−1)(2k+1)

	2k2−k		k
=		=		⇔ L = P
	(2k−1)(2k+1)		2k+1

Prawdziwa jest podstawa indukcyjna oraz krok indukcyjny, a wiec prawdziwa jest cala wlasnosc

Saizou :

	1		1		1		1
Można też być sprytnym i zauważyć, że		=		*[		−		]
	(2k−1)*(2k+1)		2		2k+1		2k−1

Saizou : poprawka (nie ten przycisk nacisnąłem )

1		1		1		1
	=		[		−		]
(2k−1)(2k+1)		2		2k−1		2k+1

KLZ: Np to ja sie zapytam

	1		1
czy [		−		] to jest czesc calkowita ?
	2k−1		2k+1

Jesli nie to gdzie informacja o tym?

Saizou : Nie, to zwykły nawias kwadratowy

KLZ: Wiem

Filip: A co to daje?

KLZ: Inne podejscie do liczenia

Saizou :

1		1		1		1
	+		+...+		+		=
1*3		3*5		(2k−3)(2k−1)		(2k−1)(2k+1)

	1		1		1		1		1		1		1		1		1
=		(		−		+		−		+...+		−		+		−		)
	2		1		3		3		5		2k−3		2k−1		2k−1		2k+1

=

	1		1		1		2k+1−1		k
=		(1−		) =		*		=
	2		2k+1		2		2k+1		2k+1

Filip: Mam malo wspolnego z matematyka, nie dal mnie takie sztuczki