Badanie ciągłości funkcji - sprawdzenie wyniku Shizzer: Zbadać ciągłość funkcji:

	⎧	(2x + 3) * 2−(1/|x| +1/x), gdy x ≠ 0
f(x) =	⎩	0, gdy x = 0

Prosiłbym o sprawdzenie mojego rozwiązania, jeśli ktoś miałby trochę czasu. Nie mam odpowiedzi do tego zadania oczywiście. Rozwiązanie: Funkcja f(x) będzie ciągła jeżeli obustronna granica funkcji g(x) = (2x + 3) * 2^{−(1/|x| +1/x)} przy x −> 0 będzie równa 0. lim_x−>0⁻[(2x + 3) * 2^{−(1/|x| +1/x)}] = = lim_x−>0⁻ (2x + 3) * lim_x−>0⁻ (2^{−(1/|x| +1/x)}) = = 3 * lim_x−>0⁻ (2^{−(−1/x +1/x)}) = 3 * 1 = 3 ≠ 0 ⇒ Funkcja f(x) nie jest ciągła Dobrze to jest rozwiązane?

ICSP: lim_x→0⁻[(2x + 3) * 2^{−(1/|x| + 1/x|)}] = = lim_{x → 0⁻} (2x+3) * lim_x→0⁻ (2^{−(1/|x| + 1/x)}) Skąd wiesz, ze granice istnieją?

Shizzer: Tzn. że musiałbym najpierw wyznaczyć te 2. granice osobno i jeżeli te granice by istniały to dopiero wtedy mógłbym zapisać taki iloczyn?

ICSP: Tak. Ponadto musisz wspomnieć, że wiesz co robisz i powinieneś powołać się na odpowiednie twierdzenie.

Shizzer: lim_x−>0⁻[(2x + 3) * 2^{−(1/|x| + 1/x)}] Korzystam z twierdzenia o arytmetyce granic funkcji. Dla funkcji g(x) = 2x + 3 istnieje otoczenie punktu x = 0. Dla funkcji h(x) = 2^{−(1/|x| + 1/x} również istnieje otoczenie punktu x = 0, lecz sam punkt nie należy do dziedziny tej funkcji. Sprawdzam czy istnieją granice funkcji g(x) i h(x) gdy x → 0⁻. lim_x→0⁻ (2x + 3) = 3 ⇒ granica istnieje lim_x→0⁻ (2^{−(1/|x| + 1/x)}) = lim_x→0⁻ (2^{−(−1/x + 1/x)}) = 2⁰ = 1 ⇒ granica istnieje Więc lim_x−>0⁻[(2x + 3) * 2^{−(1/|x| + 1/x)}] = = lim_x−>0⁻ (2x + 3) * lim_x→0⁻ (2^{−(1/|x| + 1/x)}) = 3 * 1 = 3 ≠ 0 ⇒ Funkcja f(x) nie jest ciągła Teraz dobrze?

ICSP: Od słów Korzystam do gdy x → 0⁻ możesz sobie odpuścić. liczysz granice lim_x→0⁻ (2x + 3) lim_x→0⁻ 2^{−(1/x) + 1/|x|)} Ponieważ istnieją to granica iloczynu jest równa iloczynowi granic, więc : i dalej przepisujesz dokładnie to co napisałeś.

Shizzer: Super. Bardzo dziękuję za wyjaśnienie