Wykaż że pochodna z log_a(x) jest równa 1/(x ln a) tosia: Wykaż że pochodna z log_a(x) jest równa 1/(x ln a)

Filip:

	lnx
loga(x) =
	lna

	lnx		1
(		)' =		)
	lna		xlna

6latek: Nie Filipie Nalezy to wykazac z definicji pochodnej

Filip: A gdzie jest taka informacja zawarta w poleceniu?

6latek: Wobec tego moze ktos sie wypowie .

6latek: Moze troche inaczej Twierdzenie : Jesli istnieje funkcja odwrotna x= g(y) wzgledem funkcji y=f(x) majacej w punkcie x₀ pochodna rozna od 0 to istnieje pochodna funkcji odwrotnej g(y) w punkcie y₀=f(x₀) i wyraza siew wzorem

	1
g'(y0)=		gdzie x0=g(y0)
	f'(x0)

Jesli zalozenia tego twierdzenia sa spelnione dla kazdego x∊(a,b) to

	1
1) g'(y)=
	f'(x)

================= Teraz wiem ze Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotna do funkcji wykladniczej Licze pochodna e^x

	ex0+Δx−ex0		eΔx−1
(ex)'x→x0= lim Δx→0		=lim Δx→0 ex0		=
	Δx		Δx

	eΔx−1
=ex0)lim Δx→0		=ex0*1=ex0
	Δx

2) (e^x)'=e^x =============== Funkcja y=lnx jest funkcja odwrotna do funkcji wykladniczej x=e^y Stosuje wzory 1 i 2 i mam

	1		1		1
(lnx)'=		=		=
	(ey)'		ey		x

Ale podstawa funkcji wykladniczej moze byc kazda liczba a>0 i rozna od e Wtedy mam a^x= e^ln(ax= e^xlna Stosuje wzor na pochodna funkcji zlozonej (a^x)'= (e^xlna)'= e^xlna(xlna)'= a^xlna 3) (a^x)'=a^xlna ================ Mamy funkcje y=log_ax . Funkcja do niej odwrotna jest x=a^y Korzystam z e wzorow 1 i 3

	1		1		1		1
(logax)'=		=		=		*
	(ay)'		aylna		lna		x

Ola: Jak obliczyć to z definicji pochodnej?

6latek: Ola . Prosze zajrzec do ksiazki Rachunek rozniczkowy icalkowy Tom1 G.M.Fichtenholz strona 166.

Filip: To poleciales z tym rozwiazaniem 6latek

6latek: Jesli sie spodobalo to sie ciesze