Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=25^x-10*5^x+9 Lotar: Witam, mam problem z zadaniem: Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x)=25^x−10*5^x+9. Wiem, że dla t=5^x mamy funkcję g(t)=t²−10*t+9, gdzie t>0, wiem też, że najniższy punkt wykresu tej funkcji będzie miał współrzędne P=(5,−16) i wiem, że Zbiór Wartości Funkcji g = [−16, +∞). Nie rozumiem tylko dlaczego ZWg = ZWf. Nie chwytam tej zależności między wykresami obu funkcji. Co właściwie o funkcji f mówi nam wykres funkcji g? Bardzo proszę o wyjaśnienie.

Mila: 5^x=t, t>0 g(t)=t²−10*t+9 − parabola skierowana do góry

	10
tw=		=5>0 jak w założeniu
	2

g(5)=25−50+9=−16 (5,−16) wsp. wierzchołka paraboli i 5∊(0, ∞) wierzchołek paraboli leży na prawo od osi OY Zw_g=<−16,∞) 5^x=5 f(5)=−16 − najmniejsza wartość f(x) inaczej tak: f(x)=(5^x)²−10*5^x+9=(5^x−5)²−25+9 f(x)=(5^x−5)²−16 najmniejsza wartość f(x) dla (5^x−5)=0 bo 5^x−5)²≥0

Lotar: Ale przecież f(5) nie równa się −16. 25⁵−10*5⁵+9≠−16. Nie rozumiem tego zadania :C

ICSP: liczysz g(5) a nie f(5)! Poniższy zapis nie jest poprawny ale może zrozumiesz: f(t) = g(5^t) To znaczy, że jeżeli liczysz wartość g(5) to w funkcji f powinieneś podstawić x = 1.

Jerzy: f_min = f(1) = − 16

Lotar: Czyli ten zapis w wyjaśnieniu od Mili jest niepoprawny: "f(5)=−16 − najmniejsza wartość f(x)"? Bo tą zależność: "f(t) = g(5t)" oraz tą "To znaczy, że jeżeli liczysz wartość g(5) to w funkcji f powinieneś podstawić x = 1" zauważyłem sam, ale dalej nie do końca rozumiem z czego to wynika, że funkcja g i funkcja f mają ten sam zbiór wartości. Może dlatego, że wiem jak wygląda funkcja g, a jak wygląda funkcja f − nie mam zielonego pojęcia. Niestety wolfram nie chce mi jej wyświetlić. Ładuje się i ładuje w nieskończoność.

Jerzy: Może prościej, przyjmij ,że argumentem funkcji wyjściowej jest a = 5 , czyli ma postać f(a) = a² − 10a+ 9. Sprawdzasz, że jej minimum to −16 dla a = 5. Teraz masz a= 5^x = 5,czyli x = 1

Jerzy: *... funkcji wyjściowej jest a ( pomyłkowo napisałem a = 5 )

Lotar: Aha, ojejku, dobra. Kliknęło mi w mózgu, rozumiem. Dziękuję bardzo.

Jerzy: W pierwszej linijce miało być a = 5^x

Mila: t=5^x z Obliczeń mamy minimum dla t=5 , czyli 5^x=5¹ x=1 f(1)=(5¹)²−10*(5¹)+9 =−16 Pomyłka była w zapisie , kasowałam zapisy i tak zostało. Z wzoru skróconego mnożenia masz też obliczone minimum i to nie powinno budzić wątpliwości.