Ekstremum XX: Czy na końcach dziedziny funkcja może mieć ekstremum Mianowicie f(x)=x*√(x+2)/(2x) Df=(−inf,−2] (0,inf) f’(x)=(x+1)/(√2x²+4x) I teraz tak jak rysuje wykres znaku pochodnej to uwzględniam tez te punkty które do dziedziny nie należą ? f’(x)=0 x= −1 lub x=−2 lub x=0 I teraz jakby ktoś mi mógł wyjaśnić jakie ekstremum ma ta funkcja, napewno nie w 0 i −1 bo to wgl do dziedziny nie należy ale w −2?

Filip: f'(x) = 0 ma tylko jedno rozwiazanie i jest nim x = −1

XX: no tak w sumie, a jak nnarysowac wykres znaku pochodnej?

jc: Funkcja ma maksimum lokalne w punkcie −2. Pochodne w punktach 0 i −2 nie istnieją. W żadnym punkcie pochodna nie jest zerem.

XX: pochodne w punkcie 0 i−2 nie istnieja bo te punkty nie naleza do dziedziny pochodnej tak? a czemu ma maksimum lokalne w −2

XX: a wytlumaczy mi ktos jak w tym przypadku narysowac wykres znaku pochodnej zeby okreslic przedzialuy monotonicznosci

jc: Punkt zero nie należy do dziedziny, więc faktycznie nie można mówić o pochodne. W punkcie −2 można by liczyć pochodną zbliżając się do −2 od lewej strony, ale granica wychodzi ∞, czyli nie ma granicy, choć niektórzy uznają takie pochodne. Punkt −2 uznałbym za maksimum lokalne, odsuwając się od −2 wartości funkcji maleją. Ekstremów na krańcach przedziału nie odkryjesz badając pochodne (możesz się przysuwać tylko z jednej strony, więc nie powodu, aby pochodna była zerem).

XX: czyli ekstremum moze normalnie istniec na koncu przedzialu, gdyby 0 nalezalo do dziedziny mielibysmy minimum w x=0 bo od niego wartosci rosna?

XX:

	x+1
a co zlego jest w moim rozumowaniu pochodna		i chce zbadac znak pochodnej na
	p(2x2+4x)

znak ma wplyw tylko licznik, bo mianownik stale dodatni w dziedzinie i wychodzi mi ze dla x>−1 pochodna dodatnia czyli f rosnie a dla x<−1 pochodna ujemna czyli funkcja maleje co nie jest prawda bo w przedziale (−inf,−2] funkcja rosnie

XX: ktos cos? jakies wskazowki

jc: Nie możesz liczyć pochodnej dla x=−1, bo wtedy masz liczbę ujemną pod pierwiastkiem. Rozważana funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie.

Jerzy: Weż najprostszy przykład: f(x) = √x Funkcja nie ma pochodnej w zerze, ale ma tam minimum globalne.

XX: ale ja nie licze pochodnej dla x=−1 tylko rozwiazuje nierownosc czyli sprawdzam kiedy pochodna jest ujemna( funkcja maleje)a kiedy dodatnia( funkcja rosnie)

x+1
	>0
√2x2+4x

x+1>0 x>−1 czyli dla x∊[2,inf) pochodna jest dodztnia czyli funkcja rosnie

x+1
	<0
√2x2+4x

x+1<0 x<−1 czyli dla x∊(inf,0) pochodna jest ujemna czyli funkcja maleje i tak widze chociazby z wykresu ze funkcja jest rosnaca na calej dziedzinie, tylko nwm czemu z tych nierownosci mi to nie wychodzi

jc:

	1		1
pochodna =		(√(x+2)/x−		√x/(x+2))
	√2		x

pochodna w całej dziedzinie jest dodatnia.

XX: to w takim razie co jest zlego w moim rozwiazaniu

jc: Źle policzyłeś pochodną.

	1
f(x)=		√x2+2x dla x>0
	√2

	1
f(x)=−		√x2+2x dla x≤ −2
	√2

Twój wzór jest dobry dla x>0. Dla x <−2, musisz postawić znak minus przed pochodną.

XX: o matko faktycznie mialem żle, a teraz tez mi cos nie wychodzi jak tobie

	1
nie powinno tam byc przed nawiasem −
	x2

XX:

	x+2
f(x)=x √
	2x

	x+2		√2x		−1
f'(x)=√		+x 12		*
	2x		√x+2		x2

a dobra x sie skroci

XX: no dobra ale jak sprowadze do wspolnego mianownika to mi wychodzi taka jak wczesniej

XX: Twój wzór jest dobry dla x>0. Dla x <−2, musisz postawić znak minus przed pochodną. jc mozesz mi wytlumaczyc o co chodzi z tym minusem

XX: bardzo prosze, bo nie moge sie uporac z tym zadaniem , bardzo dziekuje za pomoc

jc: x=znak(x)*√x²

XX: co to znaczy

XX: ktos cos bo nie moge ogarnac tego wzoru na pochodna w przedziale (−inf,−2]

jc: Nie wiem, jak liczyłeś pochodną. f(x)=x*√(x+2)/(2x) Dla dodatnich x: f(x)=√x(x+2)/2 Dla ujemnych x: f(x)=−√x(x+2)/2 (w tym drugim przypadku x≤−2)