Wzór na an ala: Podaj wzór na an, w postaci funckji zmiennej n ∊N an = 1/3*6 + 1/6*9 + ... + 1/3n(3n+3) wiem że należy skorzystać z ∑ ale nie potrafie zrobić z tym nic później

Mariusz: a₀=0

	1
an=an−1+
	9n(n+1)

A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ

	1
∑n=1∞anxn=∑n=1∞an−1xn+∑n=1∞
	9n(n+1)

	1
∑n=0∞anxn−0=x(∑n=1∞an−1xn−1)+∑n=0∞
	9(n+1)(n+2)

	1
∑n=0∞anxn−0=x(∑n=0∞anxn)+∑n=0∞
	9(n+1)(n+2)

	1		1
(1−x)(∑n=0∞anxn)=		(∑n=0∞		)
	9		(n+1)(n+2)

	1		1
(1−x)A(x)=		(∑n=0∞		)
	9		(n+1)(n+2)

	1
∑n=0
	(n+1)(n+2)

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

	xn+1		1
∑n=0∞		=ln(		)
	n+1		1−x

	xn+2
∑n=0∞		=
	(n+1)(n+2)

	1
∫ln{		}dx
	1−x

	1
t=
	1−x

	1
1−x=
	t

	1
1−		=x
	t

	1
dx=		dt
	t2

	ln(t)		ln(t)		1
∫		dt=−		+∫		dt
	t2		t		t2

	ln(t)		ln(t)		1
∫		dt=−		−		+C
	t2		t		t

	1		1
∫ln{		}dx=(x−1)ln(		)+(x−1)+C
	1−x		1−x

Przyjmujesz C=1 i otrzymujesz

	xn+2		1
∑n=0∞		=(x−1)ln(		)+x
	(n+1)(n+2)		1−x

	xn		x−1		1		x
∑n=0∞		=		ln(		)+
	(n+1)(n+2)		x2		1−x		x2

	1		x−1		1		1
(1−x)A(x)=		(		ln(		)+		)
	9		x2		1−x		x

	1	1		1		1	1
A(x)=−			ln(		)+
	9	x2		1−x		9	x(1−x)

Tylko jak rozwinąłem tę funkcję tworzącą w szereg to okazało się że jest ona przesunięta i powinna ona wyglądać tak

	1	1		1		1	1
A(x)=			ln(		)+
	9	x		1−x		9	(1−x)

	1	1		1	1
A(x)=			ln(1−x)+
	9	x		9	(1−x)

	1		−xn		1
A(x)=		(∑n=0∞		)+		(∑n=0∞xn)
	9		n+1		9

	1	1		1
A(x)=∑n=0∞[(−			)+		]xn
	9	n+1		9

	1		1		1
an=		−		*
	9		9		n+1

Tylko nie widzę dlaczego otrzymałem przesuniętą funkcję tworzącą

kerajs:

	1		1		1		1
an=		(		+		+...+		)=
	9		1*2		2*3		n*(n+1)

1		12−		3−2		(n+1)−1
	(		+		+...+		)=
9		1*2		2*3		n*(n+1)

	1		1		1		n
=		(		−		)=
	9		1		n+1		9(n+1)

kerajs:

	1		1		1		1
an=		(		+		+...+		)=
	9		1*2		2*3		n*(n+1)

1		1−2		3−2		(n+1)−1
	(		+		+...+		)=
9		1*2		2*3		n*(n+1)

	1		1		1		n
=		(		−		)=
	9		1		n+1		9(n+1)

Mariusz: I tak już jest za późno Mógłbyś napisać dlaczego otrzymałem przesuniętą funkcję tworzącą

Mariusz: No fajnie kerajs że mi pomogłeś zauważyć błąd

	1
Błąd był w tym że po tym jak w szeregu ∑n=1∞		xn
	9n(n+1)

przesunąłem indeks zapominałem dopisać xⁿ⁺¹

	1
(Szereg po przesunięciu indeksu powinien wyglądać tak ∑n=0∞		xn+1)
	9(n+1)(n+2)

	1
Następnie błędnie założyłem że szereg wygląda tak ∑n=0∞		xn
	9(n+1)(n+2)

Dopiero po próbie rozwinięcia funkcji tworzącej w szereg zorientowałem się że jest ona przesunięta

kerajs: Nie pomogłem. bo nie wiedziałem że mam pomóc. Od 21 do teraz tu nie zaglądałem. Sorki. Pozdr.