Przedstawić wektor jako kombinację liniową trzech wektorów( jeśli się da) Daniel: Witam. Mam pytanie odnośnie zadań związanych z liniową niezależnością. Podaję zadania w linku: https://zapodaj.net/32927b438ef32.png.html . Nie wiem czy dobrze rozwiązuję te zadania, ponieważ w obu przykładach wychodzi mi, że te wektory są liniowo zależne(v1,v2,v3). Przykładowo w tym pierwszym zadaniu gdy policzę wyznacznik i wychodzi mi 0, to wtedy te wektory są układem liniowo zależnym, tak? Czyli nie są chyba kombinacją liniową? No bo z układu Cramera nie da się tego rozwiązać(nie dzieli się przez 0.). Chyba, że ja coś źle rozumiem. Proszę o pomoc

jc: A mógłbyś tu wpisać te wektory? Na jednym niewielkim ekranie trudno oglądać jedno okno, a na drugim pisać.

Qulka: jeśli det=0 to są liniowo zależne v=a•v₁+b•v₂+c•v₃ masz 3 równania (każdy wiersz oddzielnie) i 3 niewiadome a,b,c ...da się

ABC: w pierwszym wektory są liniowo zależne − trzeci to pierwszy plus dwa razy drugi, ale to jeszcze nie znaczy że nie będzie można danego wektora zapisać za pomocą ich kombinacji − może leżeć w płaszczyźnie które one wyznaczają

Daniel: No matodą Gaussa też próbowałem. Zapisałem je w macierzy 3x4(wiersze x kolumny) : [−1 2 3 −2 2 1 4 −1 3 −1 1 3 ] I tutaj w trzecim wierzu mam po uproszczeniu coś takiego [ 0 0 0 2] (to jest sprzeczne). Co wtedy trzeba zrobić?

jc: Oznacz to, że 4 kolumna nie jest kombinacją liniową trzech pierwszych kolumn.

Daniel: Czyli tak jak myślałem, dzięki za pomoc. A w tym drugim przykładzie, gdy chcę wyznaczyć liniową zależność/niezależność to jedyną opcją jest zapisanie wektorów v1,v2,v3 w macierzy i policzenie z przekształceń Gaussa? I czy ma znaczenie jaką wybiorę kolejność zapisu? W sensie czy mam napisać macierz 3x4 czy 4x3 ? Pokażę wam w linku jak to zrobiłem i prosiłbym o odpowiedź czy to jest dobrze czy może jakoś inaczej muszę to zrobić. https://zapodaj.net/ad02715a17d0c.jpg.html

jc: 3 2 −1 3 4 1 2 1 1 −1 2 −4 3 1 1 0 Wektory są liniowo niezależne, a więc żaden z nich nie da się wyrazić przez pozostałe.

Daniel: Ale ja mam pokazać, że wektory v1,v2,v3 są liniowo zależne lub niezależne, a ty dałeś jeszcze ten wektor V w ostatniej kolumnie

znak: Bo tak się to sprawdza. Wprost z definicji: a₁v₁ + a₂v₂ + a₃v₃ + a₄v₄ = 0, gdy a₁ = a₂ = a₃ = a₄ = 0, to wektory są liniowo niezależne. W przeciwnym wypadku są liniowo zależne. I teraz zauważ, że po rozwinięciu dostajemy pewien układ czterech równań z czterema niewiadomymi, co odpowiada zapisowi A*X = 0, gdzie A to macierz podana przez jc, zaś X to wektor współczynników [a₁, a₂, a₃, a₄]^T. I teraz korzystamy z tego, że jedynym rozwiązaniem równania powinien być wektor [0, 0, 0, 0]^T. Wobec tego wystarczy sprawdzić, czy det(A) ≠ 0, bo tylko wtedy mamy dokładnie jedno rozwiązanie układu jednorodnego.

jc: Wydawało mi się, że pytasz, czy ostatni wektor jest kombinacją wcześniejszych wektorów. Nie pisałem nawiasów, więc wyszła macierz. Faktycznie policzyłem wyznacznik, a właściwie komputer policzył. Wyszła liczba ≠ 0, co oznacza, że wektory są liniowo niezależne, a więc żaden nie jest kombinacją liniową pozostałych, w szczególności czwarty wektor. Jeśli odrzucimy jeden z wektorów, na przykład czwarty, to pozostałe wektory nadal będą liniowo niezależne.

Daniel: Ale skąd masz ten wyznacznik co wyżej podałeś?: 3 2 −1 3 4 1 2 1 1 −1 2 −4 3 1 1 0? Wektor V mam [−6 −2 8 0] , V1=[3 4 1 3] v2= [−2 −1 1 −1] i v3=[−1 2 3 1]. Czyli przykładowo pierwszy wiersz macierzy powinien chyba wyglądać tak: [3 −2 −1 −6] ?

znak: Ponieważ jc wyciągnął skalar przed wektor. Innymi słowy −2*v₄ = −2*[3 1 −4 0]^T. I nie ma z tym problemu, można tak zrobić i wtedy liczyć. Jak nie chcesz tak, to po prostu liczysz wyznacznik macierzy 4x4, gdzie czwarta kolumna to wektor V pierwotny, to jest [−6 −2 8 0]^T. Wyznacznik będzie inny, ale to nie ma znaczenia, wciąż niezerowy. Tylko teraz inna sprawa: widzę, że jc ma mały błąd. W trzecim wierszu, w trzeciej kolumnie powinna być 3 zamiast 2. I ta mała zmiana sprawia, że det(A) = 0.

Daniel: A na zajęciach wykładowca mówił nam, że można z rzedu macierzy wywnioskować czy jest lnz czy lz. Jeśli przy trzech niewiadomych rząd wyjdzie nam 3 to układ wektorów jest liniowo niezależny. A jesli rząd jest mniejszy niż 3 to układ jest liniowo zależny. W tym przypadku rząd wyszedł mi 2, bo dwa wiersze się wyzerowały, czyli układ jest liniowo zależny. Z wyznacznikiem 4x4 za długo by mi się zeszło, żeby go liczyć na kolosie. W przypadku 3x3 to będę sobie liczył wyznacznik, ale tutaj chyba lepiej z tymi rzędami kombinować.

znak: Nigdzie nie powiedziałem, że nie można. Rząd macierzy też można sprawdzać, zarówno dla macierzy głównej jak i rozszerzonej. Dodatkowo ja bym zadanie robił "od tyłu". Czyli najpierw bym sprawdził, czy v₁, v₂, v₃ są lnz/lz. Bo jeśli są lz, to wówczas dołączenie wektora v₄ wciąż będzie lz.

jc: Ależ to prawie to samo. Aby znaleźć rząd wykonujesz operacje elementarne, a w przypadku macierzy kwadratowej podobnie liczysz wyznacznik (z dwoma zastrzeżeniami, zamiana kolumn zmienia znak, czynnik ma znaczenia dla wyniku).

Daniel: Ok, a co z tymi kombinacjami. Bo tutaj znowu jak zapisze macierz, żeby sprawdzić czy układ wektorów v1 v2 v3 jest kombinacją wektora V, która wygląda tak : 3 −2 −1 −6 4 −1 2 −2 1 1 3 8 3 −1 1 0 to drugi wiersz po uproszczeniu metodą Gaussa wygląda tak [ 0 0 0 4], czyli ten układ równań jest sprzeczny? I w takim wypadku te trzy wektory nie są kombinacją wektora V ?

jc: Masz rację, czwartej kolumny nie wyrazimy przez pierwsze trzy. Za to (trzecia kolumna) = (Pierwsza kolumna) + 2*(druga kolumna)

Daniel: https://zapodaj.net/fcc162543bfac.jpg.html https://zapodaj.net/5c359791e5227.jpg.html Tak rozwiązałem te zadania. Możecie sprawdzić czy wszystko jest w porządku?

jc: W porządku.

Daniel: To w takim razie dzięki wszystkim za pomoc.