indukcja tobiaszek: Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n≥4 zachodzi nierówność 2ⁿ>3n+1 Na kółku matematycznym dopiero co poznaliśmy zasadę indukcji i nie wiem jak ruszyć taką nierówność, czy ktoś pomoże?

janek191: Dla każdej n∊ℕ i n ≥ 4 zachodzi 2ⁿ > 3 n + 1 1) n= 4 2⁴ = 16 > 3*4 + 1 = 13 2) Zakładam, że zachodzi nierówność 2ⁿ > 3 n + 1 dla dow. liczby n > 4 Mam pokazać,że zachodzi nierówność 2ⁿ⁺¹ > 3*( n +1) + 1 = 3 n + 4 3) 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ > 2*( 3 n + 1) = 6 n + 2 > 3 n + 4 Zatem na mocy indukcji matematycznej zachodzi nierówność 2ⁿ > 3 n + 1 dla n≥ 4 , n ∊ℕ.

tobiaszek:

	3
właśnie tak miałem i pociągnąłem dalej tą nierówność i wyszło tak 6n+2>3n+4 ⇒ n>		⇒ n≥2,
	2

a my mamy n≥4 ?

tobiaszek: wytłumaczy ktoś?

6latek: W tresci masz narzucone n≥4 Zrobiles 3 kroki i wyszlo ze nierownowsc jest prawdziwa dla n≥4 Po co liczysz n? Skoro chodzisz na kolko to dlaczego nie sprawdzisz sam czy dla n=2 i n=3 ta nierownosc jest prawdziwa

tobiaszek: Jak liczę? A skąd mamy pewność, że 6n+2 jest większe od 3n+4? Muszę to sprawdzić przecież..

janek191: 6 n + 2 > 3 n + 4 6n + 2 − 3n − 4 > 0 3 n − 2 > 0 dla dowolnego n ∊ℕ₁

6latek: dla n=4 6*4+2= 26 3*4+4= 16 26>16 dla n=5 6*5+2= 32 3*5+4=19 32>19 itd

tobiaszek: Super dziękuję już rozumiem, tylko ostatnie pytanie do janek191, czy pisząc ℕ₁ masz na myśli zbiór tych n'ów takich, że n≥4?

ABC: słabo ten twój nauczyciel na kółku tłumaczy indukcję jeśli masz takie problemy

6latek: ℕ₁ to zbior liczb naturalnych bez zera czyli zaczynaja sie od 1

ABC: on nie rozumie że jeśli coś udowadnia dla n≥4 , a z warunku w trakcie tego dowodu wychodzi n≥2 , to tym lepiej dla niego

tobiaszek: ABC nie każdy jest takim dobrym nauczycielem jak ty, ba nie ma lepszego od Ciebie. Liczby naturalne bez zera oznaczamy jako ℕ₊