pochodna salamandra: Jak krok po kroku policzyć pochodną takiej funkcji? f(x)= e^cos(x)

ICSP: Nie liczysz tylko piszesz odpowiedź. f' = −e^cos(x)sin(x)

salamandra: aha, ok, bo w teorii do zajęć miałem tylko podane (e^x)'=e^x, dlatego pytam

HGH: pochodna zlozenia czyli pochodna z funkcji ktora podales * pochodna (cos) i wynik taki jak ICSP podał

Filip: (e^x)' = (e^x)* x'

salamandra: a taką? f(x)=√x²+1? próbowałem tak:

	1
f(x)=(x2+1)0,5, ale nie wychodzi, staję w momencie, gdy mam		*(x2+1), bo domyślam
	2

się, że jakoś pochodną z tego nawiasu też trzeba uwzględnić?

Jerzy:

	2x
f’(x) =
	2√x2 + 1

6latek:

	1
Musi byc		(x2+1)−(1/2)*(x2+1)'
	2

bo xⁿ= nxⁿ⁻¹

Filip: Wzor na pochodna funkcji zlozonej wyglada tak: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

salamandra: no tak, zgoda, xⁿ=nxⁿ⁻¹, to już wiem ze szkoły średniej, ale dlaczego u Ciebie @6latek jest aż tyle działań? Co należy zrobić po zamianie na f(x)=(x²+1)⁽0,5)? @Filip, a jak określić, czy jest to funkcja złożona?

Filip: Funkcja w funkcji. Przyjmujac, ze funkcja zewnetrzna f(x) = √x, a wewnetrzna taki g(x) = x² + 1 f(g(x)) = √x² + 1

salamandra: Okej, a w takim razie kiedy takie coś zakładać? Np. czemu w przypadku funkcji x²+4 nie rozbijamy na f(x)=x+4 a g(x)=x²?

6latek: Zamieniles pierwiastek na potege (czasami dobrze jest tak zrobic ) Wiec policzylem Ci z tego pochodna

	1
((x2+1)1/2)'=		(x2+1)−1/2 *(x2+1)'
	2

bo wzor na pochodna pierwiastka jest taki

	1
(√x)'=		czyli masz dla samego xsa
	2√x

Ty masz pod pierwiastkie x²+1 wiec musisz jeszce policzyc pochodna wyrazenia pod pierwiaskiem

	1		1
(x2+1)−1/2=		=
	(x2+1)1/2		√x2+1

6latek: ZApoznaj sie z e wzorami x²+4 (f(x)+g(x))'=(f(x))'+(g(x))'

salamandra: @6latek, ja wiem, że to będzie 2x, ja po prostu zapytałem, nawiązując do rozwiązania Filipa, dlaczego przy takich funkcjach nie korzystamy z tego złożenia, bo nie wiem po prostu jak wyczuć, kiedy sobie zrobić złożenie funkcji. Np. dla f(x)=sin(3x) rozbiłem sobie na g(x)=sin(x), h(x)= 3x g'(x)=cosx h'(x)=3 f'(g(x))=cosx h'(x)=3 f'(x)=cosx*3=3cosx?

6latek: Ja kiedys sobie tlumaczylem tak mam f(x)= sin(3x) wiec tutaj bede korzystal z funkcji zlozonej bo pochodna jest f(x)= sin(x) czyli z samego x_a to samo np e^cosx tez funkcja zlozona bo pochodna mam ze (e^x)'=e^x czyli z samego x_a h(x)= x²+4 na pochodna x² jest wzor i na pochodna z 4 jest wzor wiec tutaj korzystam na pochodna sumy

6latek: Moze ktos jeszce sie wypowie w temacie .

salamandra: Dzięki, a tutaj co polecałbyś zrobić, bo chyba się zapętliłem. Mam policzyć drugą pochodną f(x)=sin²(cosx) f'(x)= cos(cosx)*(−sinx)*sin(cosx)+sin(cosx)*cos(cosx)*(−sinx) Skorzystałem z pochodnej iloczynu, a "w środku" z pochodnej złożenia (chyba)

salamandra: rozbiłem na początku f(x) na sin(cosx)*sin(cosx)

Filip: f'(x) = 2sin(cosx) * cos((cosx)) * (−sinx)

Eta: @salamandra Nie mogę uwierzyć ? (sin²(cosx))^'= 2sin(cosx)* (sin(cosx))^'*(cosx)^' =.......

salamandra: f'(x)=2sinxcosx*cos(cosx)*sin²x można to jakoś ładnie skrócić, żeby ułatwić liczenie drugiej pochodnej?

Eta: Źle f^'(x)= −2sinx*sin(cosx)*cos(cosx) = −sin2(cosx)*sinx

Jerzy: Masakra,ty studiujesz ? Dla ciebie 2sin(cosx) = 2sinxcosx ?

salamandra: (sin(cosx))' = cos(cosx)*(−sin(x)) (cosx)' = −sin(x) Gdzie zrobiłem błąd?

salamandra: a, ok, jestem po prostu zmęczony i myślałem, że Eta napisała 2sinxcosx, przepraszam