Udowodnij Kuba152: Udowodnij, że jeżeli liczby a, b, c są różnymi liczbami wymiernymi to

1		1		1
	+		+		jest kwadratem liczby wymiernej
(a−b)2		(b−c)2		(c−a)2

Robiłem to tak:

	1		1		1
(		+		+		)2=
	a−b		b−c		c−a

1		1		1		2
	+		+		+
(a−b)2		(b−c)2		(c−a)2		(a−b)(b−c)(c−a)

Niestety nie wiem co dalej. Pomoże ktoś?

Filip: A moze zacznij od sprowadzenia do wspolnego mianownika?

(b − c)2(c − a)2 + (a − b)2(c − a)2 + (a − b)2(b − c)2
	=
(a − b)2(b − c)2(c − a)2

Zajmijmy sie samym licznikiem, po wymnozeniu: a⁴−2a³b−2a³c+3a²b²+3a²c²−2ab³−2ac³+b⁴−2b³c+3b²c²−2bc³+c⁴ I teraz musisz to zwinac w jakis wzor do kwadratu.... Wolfram pokazuje, ze licznik mozesz zapisac jako: (a² − a(b c) b² − bc + c²)² Wiec finalnie masz

(a2 − a(b c) b2 − bc + c2)2
	=
(a − b)2(b − c)2(c − a)2

	a2 − a(b c) b2 − bc + c2
= (		)2 cnu;..
	(a − b)(b − c)(c − a)

Filip: Moze ktos znajdzie szybszy sposob na to zadanie, moj sposob jest żmudny, no i z uzyciem programów 3cich

jc:

1		1		1
	+		+
(a−b)2		(b−1)2		(b−c)2

	a2+b2+c2−ab−bc−ca
=(		)2
	(a−b)(b−c)(c−a)

Kuba152: @Filip wielkie dzięki! − szukam czegoś bez programów 3cich ale i tak się przyda

Kuba152: @jc mógłbyś to rozpisać?

jc: Równoważnie:

1		1		1		u4+2u3v+3u2v2+2uv2+v4
	+		+		=
u2		v2		(u+v)2		u2v2(u+v)2

	(u2+uv+v2)2
=
	u2v2(u+v)2

Kuba152: ooo Dziękuję Ci bardzo!