Badanie zbieżności szeregu Shizzer:

	cos2n + 3sin2√n
Należy zbadać zbieżność szeregu ∑
	n√n + 1

Zupełnie nie wiem jak do tego podejść niestety. Prawdopodobnie trzeba wykorzystać fakt, że

	sinx
limx−>0		= 1 i limx−>0cosx = 1, ale nie widzę tego
	x

Maciess:

	1
Oszacuj od gory. Miałes kryterium, że szereg postaci ∑		jest zbieżny dla p>1?
	np

Shizzer: Tak. To jest szereg harmoniczny rzędu p. Co to znaczy "oszacowanie od góry"?

Maciess:

	cos2n+3sin2√n		1+3		4
∑		≤∑		≤∑
	n√n+1		n3/2+1		n3/2

Shizzer: Dzięki. Nie wpadłem na to, a szkoda, bo nie było to wcale takie trudne. Później umieszczę tu rozwiązanie, żeby inni skorzystali gdyby napotkali podobny problem

ABC: tak do końca dobrze to nie jest nawiasem mówiąc , i formalista w stylu niektórych naszych forumowiczów by oblał za to

Shizzer:

	cos2n + 3sin2√n
Badam zbieżność szeregu ∑
	n√n + 1

	cos2n + 3sin2√n		1 + 3
(cos2n ≤ 1 ∧ sin2√n ≤ 1) ⇒ ∑		≤ ∑		<
	n√n + 1		n3/2 + 1

	4
< ∑
	n3/2

	4		cos2n + 3sin2√n
Szereg ∑		jest więc majorantą szeregu ∑		.
	n3/2		n√n + 1

	cos2n + 3sin2√n
Wystarczy sprawdzić czy majoranta szeregu ∑		jest zbieżna,
	n√n + 1

jeśli tak to wykażemy, że szereg wyjściowy jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego.

	4
Sprawdzenie zbieżności szeregu ∑
	n3/2

Wyrazy tego szeregu są dodatnie więc skorzystam z granicznego kryterium porównawczego.

	1		3
Weźmy szereg ∑		będący szeregiem harmonicznym rzędu		> 1. Z tego wynika, że
	n3/2		2

	4		1
szereg ten jest zbieżny. Niech an =		, bn =		, wtedy:
	n3/2		n3/2

	an
limn−>∞		= 4 ∊ (0, +∞)
	bn

	4
Na mocy granicznego kryterium porównawczego szereg ∑		jest zbieżny.
	n3/2

	cos2n + 3sin2√n
Skoro szereg ten był majorantą szeregu ∑		to na mocy
	n√n + 1

	cos2n + 3sin2√n
kryterium porównawczego szereg ∑		jest ZBIEŻNY.
	n√n + 1

Shizzer: @ABC dlaczego to jest nie do końca dobrze? Tak z ciekawości

Maciess: @ABC Hmm, no nie jest to sformułowane jako komletny dowod zbieznosci tego szeregu, ale w tym krotkim zapisie jest cała jego esencja. Mógłbyś napisać o czym dokładnie mówisz?

ICSP: W kryterium porównawczym nie szacujesz szeregów a same ciągi.

ABC:

	1		1
o czym mówię? na przykład masz nierówność −1≤		i ∑		zbieżny , czy z tego
	n2		n2

wynika że ∑(−1) jest zbieżny ? Tu najlepiej przez bezwzględną zbieżność to zrobić o czym słowa nie było w tekście

Shizzer: Rzeczywiście tak jest. Zapamiętam sobie. Dzięki za uwagę

Shizzer: No tak kryterium porównawcze można stosować jak wyrazy obu porównywanych ciągów są nieujemne. W rozwiązaniu nie dopisałem tego dla szeregu wyjściowego, ale już przy granicznym kryterium porównawczym dopisałem. Teraz przynajmniej wiem dlaczego wyrazy tych porównywanych ciągów muszą być nieujemne

ABC: chociaż wróć , posypuję głowę popiołem , funkcje są w kwadracie, więc szereg o wyrazach nieujemnych, ale gdyby nie były , to moja uwaga jest aktualna

Maciess: @ISCP Faktycznie. Uzywam takiego zapisu, bo tak notował to mój wykładowca i chyba z kontekstu jasno wynka o co chodzi. @ABC Przecież ten szereg ma wszystkie wyrazy nieujemne to po co tu zbiezność bezwzględna?

ICSP: Chodzi o to, że nie możemy porównywać wartości jeśli nie wiemy, że istnieją.