Szeregi, granice, metryka Wojtewski: Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego: ∞

	(n+1)!(x+7)n
∑
	(2n−1)1

n=1 Czy szereg ten jest zbieżny w punkcie x = −13? Zbadać zbieżność szeregów a) ∞

	sin n
∑
	10n2

n=1 b) ∞

	2n3
∑
	n!

n=1

jc: Czy zamiast 1 nie powinno być ! ? Inaczej promień zbieżności = 0 i szereg jest zbieżny tylko dla x=−7. Przyjmijmy, że nastąpiła pomyłka.

	(n+1)!
cn=
	(2n−1)!

cn+1		(n+2)!		(n+1)!		n+2
	=		:		=		→0,
cn		(2n+1)!		(2n−1)!		2n(2n+1)

co oznacza, że promień zbieżności = ∞ (a), (b) o 2 i 10 można zapomnieć (kto układał te zadania?). Przecież oczywiste jest, że jeśli szereg ∑a_n jest zbieżny, to szereg ∑Ca_n też jest zbieżny.

|sin n|		1		1
	≤		, szereg ∑		jest zbieżny,
n3		n3		n3

	|sin n|		sin n
więc szereg ∑		jest zbieżny, a stąd szereg ∑		jest zbieżny.
	n3		n3

Drugi szereg jest zbieżny i nawet łatwo policzyć jego sumę. n³=n(n−1)(n−2) + 3n(n−1) + n

	n3		1
∑n=1∞		=5∑n=0∞		=5e
	n!		n!