. rrr: Prosta k przechodzi przez pkt A(1,1,0), jest prostopadła do prostych

	x−1		y+1
l1:		=		=z
	2		4

l2: 2x−y+z−1=0 x+z=0

qwer: wyznacz równanie prostej k. Mi wyszło (x−1)/5=(y−1)/3=z/2. Pytanie, czy mnożąc wektory równoległe prostych l1 i l2 wektorowo uzyskamy wektor równoległy prostej k

qwer: Pomoże ktoś?

jc: Pierwsza prosta ma kierunek (2,4,1). Druga prosta jest prostopadła do wektorów: (2,−1,1), (1,0,1). Szukana prosta leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory (2,−1,1), (1,0,1) czyli ma kierunek a(2,−1,1)+b(1,0,1) i jest prostopadła do wektora (2,4,1). 0=[a(2,−1,1)+b(1,0,1)]*(2,4,1)=a+5b Wybieramy np. b=−1, a=5 i mamy a(2,−1,1)+b(1,0,1)=(9,−5,4). Szukana prosta: (x,y,z)=(1,1,0)+ t(9,−5,4).

arc: Można jaśniej ja miałem na zajęciach inne oznaczenia. Nie rozumiem jak uzyskać wektor do niej równoległy

arc: Jest szansa na dokładniejszy komentarz

jc: Pisz A=(1,1,0). Bez znaku równości masz totalną abstrakcję.

	x−1		y+1
Równanie		=		=z możesz rozwiązać przyjmując z jako parametr.
	2		4

Dla wyróżnienia oznaczmy go tradycyjnie literą t.

x−1		y+1
	=		=z=t
2		4

x=1+2t y=−1+4t z=1 lub inaczej (x,y,z)=(1,−1,0)+t(2,4,1) Odczytujesz stąd, że prosta ma kierunek (2,4,1). Druga prosta też została opisana jako przecięcie dwóch płaszczyzn. 2x−y+z−1=0 x+z=0 Pierwsza z tych płaszczyzn jest prostopadła do wektora (2,−1,1), druga do wektora (1,0,−1). Czy do tego miejsca jest jasne, o czym mówimy?

arc: Tak, to rozumiem. Mnożąc te dwa wektory wektorowo otrzymujemy wektor prostej l2:(−1,−1,1). Proste l1 i l2 są prostopadłe do prostej k, ale nie przecinają jej.Proste l1 i l2 są równoległe, zatem mnożąc ich wektory wektorowo otrzymam wektor prostej k. Dobrze rozumuje? Tzn.(−1,−1,1)x(2,4,1) stąd otrzymuje wektor prostej k (5,−3,2)

Mila: 1) k^→=[2,4,1]− wektor kierunkowy prostej l₁ l₂: 2x−y+z−1=0 ,x+z=0 równanie parametryczne prostej l₂ z=t, t∊R x=−t 2*(−t)−y+t−1=0 y=1+t l₂: x=0−t y=−1−t z=t, t∊R k₂=[−1,−1,1]− wektor kierunkowy prostej l₂ 2) k⊥l₁ i k⊥l₂, A=(1,1,0)∊k n^→=k₁x k₂ [2,4,1] x [−1,−1,1]=[5,−3,2]

jc: Nie potrzebujesz wektora kierunkowego drugiej prostej. Ale oczywiście możesz iść dłuższą drogą, Kierunek szukanej prostej jest jest prostopadły do drugiej prostej, jest więc kombinacją liniową dwóch wektorów: (2,−1,1), (1,0,1) (każdy z nich jest prostopadły do drugiej prostej). Potem tyko krok i masz rozwiązanie (napisane przeze mnie w pierwszym wpisie).

jc: Mała pomyłka 0=[a(2,−1,1)+b(1,0,1)]*(2,4,1)=a+3b (gdzieś mi się liczby przesunęły). Wybieramy np. b=−1, a=3 i mamy 3(2,−1,1)−(1,0,1)=(5,−3,2). Szukana prosta: (x,y,z)=(1,1,0)+ t(5,−3,1). Wydaje się, prościej tak, niż liczyć dwa iloczyny wektorowe (tu nie trzeba żadnego).

arc: Dzięki