Oblicz granicę jokeros2000: Oblicz granicę

lim		(e2x −1)2
x→0		x2cosx

Filip: Jakis pomysl?

ICSP:

(e2x − 1)2		e2x − 1		4
	= (		)2 *		→ ?
x2cosx		2x		cosx

jokeros2000:

	4e4x−4e2x
L'Hopitalem próbowałem i doszedłem do takiej postaci
	2xcosx−x2sinx

jokeros2000:

	4		e2x−1
Granica		jest równa 4 a granica		po jednym L'Hopitalu wynosi 1 czyli 4
	cosx		2x

tak?

ICSP: Teraz wykaż mi za pomocą definicji, że pochodna funkcji e^x jest równa e^x.

jokeros2000:

	ex
(ex)'=(x)'(ex−1)=1*		=ex tak to ma wyglądać?
	e1

Arrrrgh! Yehhhhh!: definicja to za pomoca ilorazu roznicowego

ICSP: Znasz w ogóle definicje pochodnej funkcji?

jokeros2000: Aha czyli

lim		ex+h−ex
			=(ex)'
h→0		h

	lim		ex(eh−1)
(ex)'=
	h→0		h

	lim		eh−1)
(ex)'= ex
	h→0		h

	lim		ex−1
				=f'(0)=1
	x→0		x

(e^x)'=e^x*f'(0)=e^x

ICSP: i teraz wytłumacz mi skąd wiesz, że

lim		ex − 1
			= 1?
x→0		x

Pochodnej funkcji e^x nie znasz bo próbujesz ją wyznaczyć.

jokeros2000: Rzeczywiście błedne koło, nie mam pomysłu chyba że coś z logarytmami

Filip: Mozna to wyprowadzic ze wzoru na pochodna funkcji wykaldniczej a^x, gdzie e = a (a^x)' = a^xlna (e^x)' = e^xlne −−> lne = 1 (e^x)' = e^x

ICSP: stosuje się podstawienie t = e^x − 1 i sprowadza do definicji liczby e za pomocą granicy logarytmu. Jednak w tym wypadku postaraj się po prostu zapamiętać, że

	ax − 1
limx→0		= ln(a)
	x

i w żadnym wypadku nie próbować tego "Hoszpitalizować"

Arrrrgh! Yehhhhh!: Moze poczytaj o nieskonczenie malych funkcji rownowaznych (gdy x→0) a^α(x)−1 ≈ α(x) lna a>0 w szczegolnosci e^α(x)−1≈α(x)

jokeros2000: Dzięki za pomoc