Nierownosci Arrrrgh! Yehhhhh!: Mam problem z nierownowsciami pierwiastkowymi Moga one miec np takie postacie A) √f(x)>g(x) B) √(f(x)≥ g(x) C) √f(x) < g(x) D) √f(x)≤ g(x) itd Chcialbym na ta chwile zajac sie nierownosciami typu A i C Mamy postac √f(x) > g(x) jesli g(x) <0 to nierownosc jest prawdziwa poniewaz lewa strona nierownosci jest zawsze nieujemna (skad to wiemy?) Liczba nieujemna jest nie mniejsza od liczby niedodatniej . Oprocz tego pytania mam pytanie drugie . Czy w nierownosci gdzie zwrot jest (>) bierzemy do rozwiazania koncowego warunek g(x)<0 Pytanie numer 3) Jesli byloby √f(x) ≥ g(x) to wtedy zakladam ze g(x)≤0?

ICSP: Pierwiastek przyjmuje wartości tylko dodatnie ponieważ taka jest jego definicja. Nie ważne czy masz nierówność typu > czy ≥ zawsze warto jest rozpatrzeć przypadki: 1^o g(x) < 0 2^o g(x) ≥ 0 Mądre zastosowanie tych przypadków działa w każdym z podpunktów A) − D)

Arrrrgh! Yehhhhh!: Na razie dzieki Potem dopytam bo teraz mam troche spraw do zalatwienia .

Arrrrgh! Yehhhhh!: Wezme na poczatej taki przyklad A) √7x+4>2x−1 B) √7x+4≥2x−1 1) robie zalozenie 2x−1<0 Robie zalozenie 2x−1≤0

	1		1
x<		czyli x∊(−∞,		)
	2		2

	1
Natomiast tutaj x∊(−∞		>
	2

Pytanie czy do tej pory dobrze ? I czy moge juz przejsc do warunku

	4
2) 7x+4≥0 to x≥ −
	7

	4
2) 7x+4≥0 x≥−
	7

	1		1
2x−1>0 to x>		czy tez 2x+1≥0 to x≥
	2		2

	1
2x+1≥0 to x≥
	2

	1		1
Stad x∊(		,∞) lub x∊<		,∞)
	2		2

	1
x∊<		,∞)
	2

Prosze o wskazanie ewentualnych bledow

Arrrrgh! Yehhhhh!: Cos wyszlo z zapisem nie tak Ogolnie tak: Dla nierownosci ostrej robie zalozenie 2x−1<0 Natomiast dla nierownosci slabej 2x−1≤0 ?

Arrrrgh! Yehhhhh!: Prosze tego nie rozwiazywac . Zrobie to sam przy udzielonych sukcesywnie wskazowkach . Dziekuje .

Arrrrgh! Yehhhhh!: √7x+4>2x−1

	1		1
1) 2x−1<0 to x<		to x∊(−∞,		)
	2		2

Juz jestesmy pewni ze dla tych x_ow ta nierownosc jest prawdziwa . Pytanie . Czy ta wiadomosc przyda sie nam do pozniejszego rowiazania tej nierownosci ?

Mila:

	4
1) Przyda się, ale ważne jeszcze założenie x≥/div>
	7

	1
2) Założenie x≥		, wtedy obie strony nierówności są nieujemne.
	2

Możesz teraz obustronnie podnieść do kwadratu i bierzesz pod uwagę rozwiązanie w tym przedziale, potem... ? Możesz pytać.

Arrrrgh! Yehhhhh!: Dzieki za odzew .

	4
Czyli jesli robie zalozenie 2x−1<0 to takze musze zrobic zalozenie 7x+4≥0 to x≥−		?
	7

Wtedy juz jestem pewien ze ta nierownosc przy tym zalozeniu jest prawdziwa . Jeszcze jedno pytanie zanim przejde do dalszych obliczen Jesli bede mial √7x+4≥2x−1 to robie zalozenie ze 7x+4≥0 i 2x−1≤0 czy 2x−1<0?

Arrrrgh! Yehhhhh!: Od nowa √7x+4>2x−1 zalozenie

	4
7x+4≥0 to x≥−
	7

	1
2x−1<0 to x<
	2

Teraz ktore x_sy biore pod uwage zeby stwerdzic ze ta nierownosc jest zawsze spelniona gdyz L>P ?

Arrrrgh! Yehhhhh!: Nikt . Trudno

znak: Co za rozterki.

	4
Dziedzina dla lewej strony: 7x + 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ −
	7

	1		4		1
Gdy 2x − 1 < 0, to x <		. Wobec tego dla x ∊ <−		,		) nierówność jest zawsze
	2		7		2

spełniona.

	1
Teraz pozostaje rozpatrzeć x ≥		:
	2

√7x + 4 > 2x − 1 /² 7x + 4 > 4x² − 4x + 1 −4x² + 11x + 3 > 0 Δ = 121 + 48 = 169

	−11 − 13
x1 =		= 3
	−8

	−11 + 13		1
x2 =		= −
	−8		4

	1		1		1
Wobec tego x ∊ (−		, 3) ∧ <		, ∞) ⇔ x ∊ <		, 3). Teraz suma warunków daje nam:
	4		2		2

	1		4		1		4
x ∊ <		, 3) ∨ <−		,		) ⇔ x ∊ <−		, 3)
	2		7		2		7

Arrrrgh! Yehhhhh!: dzien dobry Jesli bym mial taka nierownosc √7x+4≥2−x to wtedy musialbym do pierwszego zalozenia dac 2−x≤0? jesli masz jeszcze czas to jak zaczac rozwiazywac nierownosc np √6x+7<3+x

znak: Ale czym jest pierwsze założenie, a czym drugie? Domyślam się, że chodzi Ci o to, kiedy prawa strona będzie ujemna? Można tak zrobić, ponieważ mamy nierówność nieostrą. Funkcja po lewej stronie przyjmuje wartości od 0 wzwyż, wobec tego jeśli 2 − x ≤ 0, to dla 2 ≤ x otrzymamy zawsze nierówność prawdziwą. Oczywiście do tego musimy dołożyć warunek istnienia funkcji po lewej stronie, ale to już wiesz, jak zrobić. I w tym przykładzie z samych warunków Ci wszystko wyjdzie, bez większego liczenia

znak: √6x + 7 < 3 + x

	7
(I) 6x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ −
	6

(II) 3 + x > 0 ⇔ x > −3 Stąd już mamy, że dla x ≤ −3 nie ma rozwiązań, bo wtedy liczba dodatnia (lewa strona) byłaby mniejsza od liczby ujemnej (prawa strona). Wobec tego rozpatrzmy x > −3: √6x + 7 < 3 + x /² 6x + 7 < x² + 6x + 9 ⇔ 0 < x² + 2 I tutaj widzimy, że mamy x² + 2 > 0. A to jest prawdziwe dla każdego x, bo x² > 0 oraz 2 > 0, więc x² + 2 > 0 zawsze. Więc otrzymujemy, że x > −3.

	7		7
Ostatecznie mamy x ∊ <−		, ∞) ∧ (−3, ∞), więc x ∊ <−		, ∞)
	6		6

Arrrrgh! Yehhhhh!: Dziekuje W razie problemow dopytam . Milego popoludnia