Udowodnij Kuba152: Liczby wymierne x,y spełniają warunek x⁵ + y⁵ = 2x²y². Udowodnij, że 1 − xy jest kwadratem liczby wymiernej Próbowałem zrobić to tak: x¹⁰ + 2x⁵y⁵ + y¹⁰ = 4x⁴y⁴ 2x⁴y⁴ − 2x⁵y⁵ = x¹⁰ − 2x⁴y⁴ + y¹⁰ 2x⁴y⁴(1− xy) = x¹⁰ − 2x⁴y⁴ + y¹⁰

	x10 − 2x4y4 + y10
(1− xy) =
	2x4y4

	x10 + y10
(1− xy) =		− 1
	2x4y4

Niestety nie wiem co dalej

Kuba152: Pomoże ktoś?

ABC: potrzebny jest jeden sprytny trick, dzięki któremu zyskasz 10 kg suchej masy mięśniowej w ciągu miesiąca nie ćwicząc ... opps nie to forum ale naprawdę jest do tego trick

ABC: Jeśli któraś z liczb x,y jest zerem to oczywiście 1 jest kwadratem liczby wymiernej założmy że obie nie są zerami. przenieśmy wszystko na jedną stronę x⁵−2x²y²+y⁵=0 pomnóżmy stronami przez x x⁶−2x³y²+xy⁵=0 dopełnijmy do wzoru skróconego mnożenia x⁶−2x³y²+y⁴−y⁴+xy⁵=0 (x³−y²)²−y⁴(1−xy)=0 (x³−y²)²=y⁴(1−xy)

	x3−y2
(		)2 =1−xy
	y2

I jakoś poszło

Kuba152: O kurczę, na to nie wpadłem... Dziękuję Ci bardzo!

Mila: Pisał, że trick i jest!

jc: Zastosujmy sposób PW (o ile się nie mylę). y=tx x⁵ + t⁵x⁵=2x² t²x² x⁵(1+t⁵)=2x⁴t²

	2t2		2t3
Stąd x=		, y=
	1+t5		1+t5

	2t2		2t3		(1+t5)2−4t5
1−xy=1−		*		=
	1+t5		1+t5		(1+t5)2

	(1+t5)2		x5−y5
=		=(		)2
	(1+t5)2		x5+y5

jc: W ostatniej linii wkradła się litrówka. Powinno być

	(1−t5)2
=		=..
	(1+t5)2

Kuba152: Ooo, też super sposób! Dziękuję Ci bardzo!