Problem z pierwiastkami zespolonymi po rozwiązaniu równania wielomianowego Shizzer: Rozwiąż w zbiorze ℂ następujące równania wielomianowe: x⁴ − x² + 4 = 0, t = x² t² − t + 4 = 0 Δ_t = 1 − 16 = −15 √Δ_t = √15i

	1 − √15i		1 + √15i
t1 =		, t2 =
	2		2

Teraz te liczby zespolone trzeba wrzucić pod pierwiastki kwadratowe. Z tym, że ciężko mi te pierwiastki wyznaczyć. Jeśli przedstawię te liczby w postaci trygonometrycznej to ciężko wyznaczyć np. ich argument. Podchodząc do wyznaczenia pierwiastka w ten sposób, że:

	1 − √15i
x2 =
	2

też nie widzę tutaj łatwej drogi do wyznaczenia niewiadomej x. Gdyby x = (a + bi), gdzie a, b ∊ R to wychodziły mi jakieś straszne liczby typu:

	31
a4 =
	32

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4-x%5E2%2B4%3D0 wolfram zostawia te pierwiastki już jako wynik, ale myślę, że na kolokwium musiałbym je chyba jakoś uprościć. Czy ktoś byłby w stanie mi pomóc z tymi pierwiastkami?

jc: x⁴−x²+4=0 Tu działa pewna sztuczka. x⁴−x²+4=(x²+2)²−5x²= (x² − x√5+2) (x²+x√5 +2) Zostają do rozwiązania 2 równania kwadratowe.

Shizzer: Podziwiam, że widzisz coś takiego jc. Dziękuję Ci! Muszę potrenować jakoś to rozkładanie wielomianów, bo mam problem z dojrzeniem takich możliwości

6latek: Na kolokwium napisalbym tak

	1−√15i
x2=
	2

to x₁= pierwiastek z tej liczby i x₁= (−) pierwiastek z tej liczby Jesli tego by nie zaliczyl to sa wzory na szybkie obliczanie pierwiastkow kwadratowych z liczby zespolonej

Mariusz: Ze wzoru de Moivre masz że

	Arg(z)+2kπ		Arg(z)+2kπ
√z=√|z|(cos(		)+isin(		)) gdzie k∊ℤ2
	2		2

Przy czym nie musisz liczyć argumentu liczby zespolonej Wystarczy ci wzór na cosinus i sinus połowy kąta

	x		x
cos(x)= cos2(		)−sin2(		)
	2		2

	x		x
1 =cos2(		)+sin2(		)
	2		2

Przy obliczaniu wartości funkcji trygonometrycznych połowy argumenty przydaje się ustalenie w której ćwiartce jest argument pierwiastkowanej liczby zespolonej